أساسيات المنطق الرياضي: القضايا والروابط وجدول الصدق

ليست كل عبارة قضية

«19 أكبر من 12» قضية صادقة، و«19 أصغر من 12» قضية كاذبة. كلاهما قضية؛ الكذب لا يلغي كون الجملة قابلة للحكم. أما «احسب الفرق» فأمر، و«كم يبلغ الفرق؟» سؤال، فلا نعطيهما قيمة صدق بالطريقة نفسها. ^[1]

التعبير x+2=9 مع x حر غير محدد عبارة مفتوحة، تتغير صحتها بحسب x. إذا اخترنا x=7 صارت مساواة صادقة، وإذا اخترنا x=4 صارت كاذبة. ويمكن تحويل المحمول إلى قضية بتحديد القيمة أو باستعمال تعميم مثل «يوجد عدد صحيح يحقق...». ^[1]

هذا الدرس يستعمل منطق القضايا الكلاسيكي ذا القيمتين. لا نحول درجة يقيننا في خبر إلى قيمة ثالثة في الجدول؛ جدول الصدق يعالج البنية المنطقية بعدما نعطي القضايا قيمها.

الروابط تغير معنى التركيب

لنسم القضيتين p و q. النفي ¬p يقلب قيمة p. والوصل p∧q، المقروء «p و q»، يصدق عندما تصدقان معًا. أما الفصل p∨q، المقروء «p أو q»، فيشمل في هذا الدرس احتمال صدقهما معًا. ^[1]

مثلًا «العدد 18 يقبل القسمة على 2 وعلى 3» صادق لأن الشرطين متحققان. و«العدد 18 يقبل القسمة على 5 أو على 3» صادق لأن القسم الثاني متحقق، رغم كذب الأول. كلمة «أو» هنا لا تعني واحدًا فقط.

إذا أردت «أحدهما فقط» يلزم تركيب يرفض صدقهما معًا، مثل (p∨q)∧¬(p∧q). تحديد معنى الرابط يمنع نقل دلالة محادثة يومية إلى رمز له تعريف أدق. ^[1]

كيف تقرأ جدول الصدق؟

مع قضيتين مستقلتين توجد أربع حالات لقيمتيهما. اكتبها كلها قبل بناء عمود التركيب؛ بذلك لا تختبر الحالة التي تؤيد رأيك وحدها. نستعمل «ص» للصادق و«ك» للكاذب. ^[1][2]

التكافؤ الشرطي p↔q يصدق عندما تتساوى القيمتان: ص مع ص، أو ك مع ك. ولإثبات أن تركيبين متكافئان منطقيًا نقارن الناتج في كل صف، لا في صف واحد أو مثال واحد. ^[1][2]

الشرط لا يساوي عكسه

نقرأ p→q «إذا p فإن q». يكذب فقط عندما p صادق و q كاذب؛ كذب المقدمة وحده لا يدحض هذا الرابط. وهذه دلالة الشرط في منطق القضايا، لا ادعاء أن p يسبب q في العالم. ^[3]

في الأعداد الصحيحة، «إذا كان n من مضاعفات 6 فهو من مضاعفات 3» صحيح: من n=6k نحصل على n=3(2k). عكسه «إذا كان من مضاعفات 3 فهو من مضاعفات 6» كاذب؛ العدد 9 مضاعف 3 لكنه ليس مضاعف 6.

الرسم الداخلي يعرض المثال داخل الأعداد الصحيحة من 1 إلى 24. تقع مضاعفات 6 جميعها ضمن مضاعفات 3، لكن توجد في المجموعة الأكبر أعداد خارج الأولى. الرسم مثال محدود؛ البرهان 6k=3(2k) هو الذي يغطي جميع الأعداد الصحيحة.

المعاكس الإيجابي ¬q→¬p مكافئ للشرط الأصلي: إذا لم يكن العدد مضاعفًا لـ 3 فلن يكون مضاعفًا لـ 6. أما تبديل المقدمة والنتيجة وحده فلا يحفظ المعنى. ^[3]

النفي والاستنباط الصحيح

نفي «p و q» هو «ليس p أو ليس q»، أي ¬(p∧q)≡¬p∨¬q. ونفي «p أو q» هو ¬(p∨q)≡¬p∧¬q. هاتان صيغتا دي مورغان؛ يجب تغيير الرابط مع نفي الجزأين. ^[2]

مثلًا نفي «البطاقة تحمل رقمًا وتاريخًا» هو «لا تحمل رقمًا أو لا تحمل تاريخًا»، ويشمل غياب أحدهما أو كليهما. لا يلزم غيابهما معًا حتى يكون الادعاء الأصلي كاذبًا.

إذا عرفنا صدق p→q وصدق p، نستنتج q استنتاجًا صحيحًا. مثالنا: «كل مضاعف 6 مضاعف 3»، و«24 مضاعف 6»، إذن «24 مضاعف 3». لكن من صدق q وحده لا نستنتج p؛ الرقم 9 يوضح سبب فشل هذه القفزة. ^[2]

سلامة صورة الاستدلال لا تثبت مقدماتك تلقائيًا. تحتاج أيضًا مقدمات صادقة حتى تضمن نتيجة صادقة بهذه الصورة؛ الجداول لا تعوض التحقق من المعلومات التي وضعتها فيها.

تدريب قصير مع جواب

إذا كانت p كاذبة و q صادقة، فما قيم p∨q و p∧q و p→q؟ على الترتيب: صادق، وكاذب، وصادق. اقرأ التعريف أو الصف الثالث للتحقق.

ما نفي «الملف مفتوح أو محفوظ»؟ «الملف غير مفتوح وغير محفوظ»، وفق نفي الفصل. وما الحالة التي تدحض «إذا p فإن q»؟ أن تثبت p وتثبت نفي q، أي p∧¬q؛ نفي الشرط ليس شرطًا جديدًا. ^[2]

تدرب على ترجمة جملة قصيرة إلى رموز، ثم اكتب جدولها كاملًا وأعدها إلى لغة واضحة. احتفظ بمعنى كل رمز ثابتًا أثناء المسألة، وميز صدق قضية بعينها من صحة استدلال يربط عدة قضايا.