أقل استطالة لقضيب بمقطعين: كيف نوزع حجمًا ثابتًا؟

أقل استطالة لقضيب في نموذجنا تتحقق بمقطعين متساويين. [1][2]

الخلاصة السريعة

نوزع المساحة بالتساوي مع ثبات طول الجزأين. [2]

• نموذج شد محوري ساكن: جزآن متتاليان طول كل منهما L=1m، بمعامل يونغ Y=10⁹Pa وقوة F=100N، دون حمل بينهما. نهمل الوزن وتأثير الوصلة وتركيز الإجهاد والحرارة؛ نفترض تشوهًا خطيًا صغيرًا لكل حالة مسموحة. Pa باسكال. [1]
• لكل جزء ΔLᵢ=FL/(YAᵢ)، حيث Aᵢ مساحة مقطعه الابتدائي. تتساوى القوة ولا يلزم تساوي الاستطالة؛ الزيادة الكلية ΔL=ΔL₁+ΔL₂. N نيوتن وm متر. [1]
• نختار A₁=s cm² وA₂=(4−s)cm²، مع 1≤s≤3. مجموع المساحتين ثابت؛ لأن الطولين متساويان، الحجم الابتدائي 400cm³. بعد التحويل، القيمة العددية للاستطالة بالملليمتر d=1/s+1/(4−s). [1][2]
• نجمع الكسرين: d=4/[s(4−s)]=4/[4−(s−2)²]. المقام موجب ولا يتجاوز 4، فيكون d≥1. المساواة فقط عند s=2 المسموح؛ أقل استطالة 1mm، بمقطع 2cm² لكل جزء. [2]
• للحالات s=1 و2 و3: استطالتا الجزأين بالملليمتر (1,1/3)، (1/2,1/2)، (1/3,1). المجاميع 4/3 و1 و4/3. تبادل المساحتين يبادل الاستطالتين؛ الحجم والطول والقوة والمعامل ثابتة. cm² سنتيمتر مربع وmm ملليمتر. [1]
• توزيع غير متساوٍ يزيد الاستطالة: d−1=(s−2)²/[4−(s−2)²]. في حالتي 1 و3 تزيد الاستطالة عن الأدنى بمقدار 1/3mm. البرهان لهذا النموذج؛ اختلاف الأطوال أو المعاملات يغير مسألة التوزيع. [2]

المراجع

1. الشد المحوري
2. المربع والقيمة القصوى

قانون هوك

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.