أنواع المصفوفات: الأبعاد والقطر والمنقول

الخلاصة السريعة

المصفوفة جدول من عناصر مرتبة في صفوف وأعمدة. أبعادها m×n تعني m صفوف و n أعمدة، والعنصر aᵢⱼ يقع في الصف i والعمود j.^[1]

• قد تكون المصفوفة من صف واحد أو عمود واحد، وتكون مربعة عندما يتساوى عدد الصفوف والأعمدة.^[1]
• القطر الرئيسي عناصره a₁₁ و a₂₂ وهكذا. المصفوفة القطرية مربعة، وكل عناصرها خارج هذا القطر أصفار.^[2]
• المصفوفة القياسية قطرية تتساوى عناصر قطرها؛ ومصفوفة الوحدة حالتها التي تكون عناصر القطر فيها 1.^[3]
• المنقول Aᵀ يبدل الصفوف بالأعمدة؛ والمتناظرة تحقق Aᵀ=A.^[2]
• المثلثية العليا أصفارها تحت القطر، والسفلى أصفارها فوقه، ضمن المصفوفات المربعة هنا.^[1]
• المربع ليس ضمانًا لوجود معكوس؛ بعض المصفوفات المربعة لا تقبل العكس.^[4]

كيف نقرأ الأبعاد ومكان العنصر؟

نكتب عدد الصفوف أولًا ثم الأعمدة. مصفوفة من صفين وثلاثة أعمدة أبعادها 2×3، بينما 3×2 تصف ترتيبًا مختلفًا.^[1]

لنأخذ المثال الأصلي A=[[4,7,0],[−2,5,9]]. الصف الثاني هو [−2,5,9]، والعمود الثاني هو [7,5]. العنصر a₂₁ يساوي −2، والعنصر a₁₂ يساوي 7.

تسمية «مستطيلة» تستعمل هنا عندما يختلف العددان، و«مربعة» عندما يتساويان. المصفوفة الصفرية قد تكون بأي أبعاد؛ فجميع عناصرها أصفار.^[1]

في الرسم الأول تظهر الأعداد من اليسار إلى اليمين، ويظل رقم الصف هو الأول في الرمز حتى داخل النص العربي.

كيف نصنف المصفوفة المربعة؟

القطر الرئيسي يمتد في عرض المصفوفة المعتاد من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين. في B=[[6,2,0],[0,8,3],[0,0,5]] عناصره 6 و 8 و 5؛ والمصفوفة مثلثية عليا لأن جميع العناصر تحته أصفار.^[1][2]

أما D=[[6,0,0],[0,8,0],[0,0,5]] فهي قطرية. لا يشترط تساوي 6 و 8 و 5 حتى تكون قطرية؛ إذا جعلنا العناصر الثلاثة 4، صارت أيضًا قياسية، أي 4I₃.^[2][3]

مصفوفة الوحدة I₃ لها ثلاثة آحاد على القطر وأصفار خارجه. قد ينطبق أكثر من وصف على المصفوفة نفسها؛ فالوحدة قطرية وقياسية ومتناظرة.^[1][3]

لا يكفي وجود أصفار كثيرة للتصنيف: مواضعها هي التي تحدد كون المصفوفة قطرية أو مثلثية.

ما المنقول، ومتى تكون المصفوفة متناظرة؟

منقول A ذات الأبعاد 2×3 مصفوفة أبعادها 3×2. صفوف المثال السابق تصير أعمدة: Aᵀ=[[4,−2],[7,5],[0,9]].^[2]

ولتجربة التناظر نختار S=[[2,7],[7,4]]. منقولها يعيد المصفوفة نفسها؛ فالعددان المتقابلان حول القطر، كلاهما 7، متساويان. تغيير العنصر العلوي الأيمن إلى 8 وحده يزيل هذا التناظر.^[2]

منقول المصفوفة ليس معكوسها. توجد مصفوفات مربعة لها منقول ولا معكوس، ولا يتطلب حساب المنقول حل نظام معادلات.^[2][4]

عند استعمال الوحدة مع مصفوفة مستطيلة، نراعي الأبعاد: مثالنا A يحتاج I₂ من اليسار و I₃ من اليمين، فيكون I₂A=A و AI₃=A. هذان الضربان يحافظان على الصفوف والأعمدة، ولا نستبدل حجمي الوحدة أحدهما بالآخر.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: الجبر الخطي: المتجهات والمصفوفات والتحويلات بأمثلة.