أهمية علم التفاضل: التغير والقيم القصوى والتقريب

الخلاصة السريعة

تفيد المشتقة في المعدل اللحظي وفحص القيم القصوى والتقريب الخطي المحلي، وفق الشروط. ^[1][2][3]

• المشتقة معدل تغير لحظي، وليست متوسط تغير على فترة. ^[1]
• وحدة المشتقة تتبع الكميتين؛ لمثال حرارة بالنسبة إلى دقائق نكتب درجة/دقيقة.
• صفر المشتقة لا يكفي لقيمة عظمى أو صغرى؛ افحص السلوك حول النقطة. ^[3]
• اختبار الإشارة يحتاج استمرارية الدالة وقابلية اشتقاقها حول النقطة ضمن شروطه. ^[4]
• المشتقة f′(a) تختلف عن التفاضل dy=f′(a)dx؛ و dy يقدر التغير الفعلي محليًا. ^[2]
• في نموذجنا y=x²، عند x=3 و dx=0.2 يكون dy=1.2، والتغير الحقيقي 1.24.

معدل تغير ووحدة تناسب السؤال

تمثل المشتقة معدل تغير الدالة عند نقطة. ^[1] نحتاج تعريف المدخل والمخرج قبل حسابها.

نفترض نموذجًا تعليميًا لحرارة T(t)=18+0.5t²، حيث t بالدقائق و T بالدرجة المئوية. مشتقته T′(t)=t درجة/دقيقة؛ عند t=4، المعدل 4 درجات/دقيقة.

أما تغير الحرارة من t=2 إلى 4 فهو T(4)−T(2)=26−20=6 درجات. ومتوسط المعدل 6/(4−2)=3 درجات/دقيقة. اختلاف 3 و 4 يعكس سؤالين مختلفين.

لم نقس حرارة مادة فعلية، ولم نستنتج طريقة تسخينها. الأرقام مثال لقراءة معنى معدل التغير، لا توصية تشغيل.

المشتقة والتفاضل والتقريب الخطي

لدالة قابلة للاشتقاق عند a، التقريب المحلي L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)؛ ومع dx صغير، Δy≈dy=f′(a)dx. ^[2]

نختار f(x)=x² و a=3. حينئذ f(3)=9 و f′(3)=6. نزيد x بمقدار 0.2، فيعطي التفاضل dy=6×0.2=1.2، والتقدير لقيمة الدالة 9+1.2=10.2.

الحساب المباشر يعطي 3.2²=10.24، وبالتالي Δy=10.24−9=1.24. الفرق بين التغيرين 1.24−1.2=0.04، ويساوي مربع الزيادة 0.2² في هذا النموذج.

وإذا اخترنا dx=0.1 صار dy=0.6، والتغير الفعلي 3.1²−9=0.61. فرق هذا المثال 0.01. نقارن تقريبين للدالة نفسها، ولا نعد مقدار خطأ واحدًا صالحًا لكل دالة.

لماذا لا نكتفي بمساواة المشتقة بالصفر؟

النقطة الحرجة مرشح قد يخلو من قيمة قصوى؛ افحص محيطها. ^[3]

نختار F(x)=12−(x−2)². مشتقته F′(x)=−2(x−2)؛ موجبة قبل 2 وسالبة بعدها. يبلغ النموذج 12 عند x=2، بينما يعطي 11 عند x=1 وعند 3.

وللمقارنة G(x)=x³+2 له مشتقة صفرية عند 0، ويواصل التزايد على جانبي 0؛ فلا يعطي قيمة قصوى هناك. يعطي 1 عند −1 و 3 عند 1، حول القيمة G(0)=2. ^[3]

تحقق من الاستمرارية والاشتقاق وإشارة المشتقة على الجانبين، وفق شروط الاختبار. ^[4]