إحداثيات الأساس المائل: لماذا لا تساوي الإسقاطات؟

إحداثيات الأساس المائل لا تساوي الإسقاطات عليه عمومًا. نحسب المعاملين بحل نظام مترابط، ثم نعيد بناء المتجه. [1][2]

الخلاصة السريعة

طول الوحدة لا يكفي؛ التعامد يجعل الإسقاطات معاملات مباشرة. [1][2]

• مثال مؤلف بلا وحدات بإحداثيات ديكارتية متعامدة: e1=(1,0)، وe2=(3/5,4/5). طولاهما 1، لكن c=e1·e2=3/5 فلا يتعامدان؛ محدد عموديهما 4/5، فهما مستقلان ويشكلان أساسًا. [1][2]
• لـv=(2,1) نريد v=ae1+be2؛ المعاملان a,b هما إحداثياته في هذا الأساس. أما d1=v·e1=2 وd2=v·e2=2 فإسقاطان قياسيان موقّعان. [1][2]
• إذا جعلنا الإسقاطين معاملين، نحصل على 2e1+2e2=(16/5,8/5)≠v. هذا مجموع الإسقاطين المتجهين على الخطين، وليس إعادة البناء المطلوبة. [2]
• بضرب v=ae1+be2 قياسيًا في الاتجاهين: a+cb=d1 وca+b=d2. محدد النظام 1−c²=16/25>0؛ الحل a=b=5/4. [1][2]
• نتحقق: (5/4)e1=(5/4,0)، و(5/4)e2=(3/4,1)؛ المجموع (2,1). الإحداثيات المعتادة (2,1)، وإحداثيات الأساس المائل (5/4,5/4)، تصفان المتجه نفسه. [1]
• عند c=0 لأساس من متجهي وحدة، يصبح a=d1 وb=d2. إذا توازى الاتجاهان فمحدد النظام صفر ولا يشكلان أساسًا للمستوى؛ مثلًا e1=e2=(1,0) وv=(2,0) يعطيان حلولًا لا نهائية تحقق a+b=2. [1][2]

المراجع

1. Georgia Tech: إحداثيات الأساس
2. Georgia Tech: التعامد والإسقاط

تحليل المتجهات

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.