إنشاء رابع متناسب: قِس الجزء الأخير لا طول الشعاع كله

حدد ترتيب الأطوال ونهاية كل قطعة

نريد طولًا س يحقق ل/م=ن/س؛ وهو الرابع المتناسب للثلاثة بالترتيب المحدد. [1]

نختار ل=5 سم، م=8 سم، ن=7 سم. بالضرب نجد5س=56، إذن س=56/5=11.2 سم. نستخدم العدد لتدقيق الإنشاء، لا لتحديد موضع نهاية القطعة بالتخمين قبل رسم الموازي.

على شعاع من أ ضع أ ب=ل ثم ب ج=م في الاتجاه نفسه. على شعاع آخر ضع أ د=ن. [1]

في مثالنا، ب عند5 وج عند13 على الشعاع الأفقي. نحتاج أن تكون ب ج=8، لا أ ج=8. تغيير اسم القطعة من ب ج إلى أ ج يحول المعطيات، رغم بقاء الرقم8 مكتوبًا على الورقة.

نقصر التطبيق على أطوال موجبة بمقياس واحد ومستوى إقليدي، وشعاعين بزاوية داخلية بين0° و180° حصرًا. رأس أ مشترك؛ لا ننقل الثالث من ب. اخترنا30° لمخططنا الحسابي، ويمكن اختيار زاوية أخرى غير منعدمة.

الموازي يحدد النهاية؛ التناسب يحدد القطعة

صل ب بد، ثم أنشئ من ج مستقيمًا موازيًا لب د حتى يقطع الشعاع الثاني في هـ. الرابع المتناسب هو د هـ. [1]

لإنشاء الموازي، استخدم مستقيمًا قاطعًا يمر بج ويلتقي ب د، وانسخ الزاوية المتبادلة في ج في الجهة المناسبة، ثم مد المستقيم الناتج. تساوي الزاويتين المتبادلتين يثبت التوازي. [3]

في المثلث أ ج هـ، تصل ب د بين ضلعيه وهي موازية لج هـ. لذلك أ ب/ب ج=أ د/د هـ. [2]

في المثال هذه النسبة5/8=7/د هـ؛ لذا د هـ=11.2 سم. أما طول أ هـ الكامل فيساوي أ د+د هـ=7+11.2=18.2 سم. سجل د هـ وأ هـ في خانتين منفصلتين.

يمكن أيضًا مقارنة الجزء من الرأس بالطول الكامل: أ ب/أ ج=أ د/أ هـ، فتكون5/13=7/18.2. هذه مساواة صحيحة، لكنها تعطي أ هـ عند حلها؛ لا نسمي18.2 رابعًا متناسبًا للأطوال5 و8 و7.

افتح الفرجار بين د وهـ عند نقل النتيجة إلى رسم آخر. وضع الإبرة عند أ بدل د ينقل الطول الكامل18.2 سم؛ بقاء اتجاه الشعاع صحيحًا لا يعوض اختلاف نقطة البداية.

راجع التوازي والإحداثيات في مثال30 درجة

نضع أ=(0،0)، ب=(5،0)، ج=(13،0)، والإحداثيات بالسم. على الشعاع30°، نقطة بطول ت من أ هي(ت√3/2،ت/2). لذلك د=(7√3/2،7/2)، لأن أ د=7.

التكبير من أ ب=5 إلى أ ج=13 له عامل13/5. نضرب إحداثيي د به فنحصل على هـ=(91√3/10،91/10). فرق هـ−د=(28√3/5،28/5)، أي(د هـ)×(√3/2،1/2) عندما د هـ=56/5.

مربع طول د هـ=(28√3/5)²+(28/5)²=2352/25+784/25=3136/25. الجذر الموجب56/5=11.2 سم. مربع أ هـ=(91√3/10)²+(91/10)²=8281/25، فيكون أ هـ=91/5=18.2 سم.

متجه ب د=(7√3/2−5،7/2). ومتجه ج هـ=(91√3/10−13،91/10) يساوي13/5 من المتجه الأول. لذلك الخطان متوازيان في الإحداثيات، والتكبير موجب يحفظ اتجاههما.

الفرق بين د وهـ يحدد الجزء المطلوب مباشرة؛ لا نحتاج أخذ طول أ هـ من الصورة ثم طرح قياس يدوي لجزء آخر. صيغ الجذور والكسر تحدد مخططنا دون تقريب، أما الصورة فوسيلة لتمييز النقاط والقطع.

عكس الترتيب وتغيير زاوية الشعاعين

نبدل الطولين الأول والثاني فقط: أ ب′=8، ب′ ج=5، وأ د=7 سم. تبقى أ ج=13، لكن المطلوب الآن8/5=7/س. إذن8س=35، فس=35/8=4.375 سم.

عند زاوية30° نفسها، نضع ب′=(8،0). عامل تكبير المثلث من أ ب′ إلى أ ج هو13/8، فيكون هـ′=(91√3/16،91/16)، وطول أ هـ′=91/8=11.375 سم.

فرق هـ′−د=(35√3/16،35/16). مربع طوله(3675+1225)/256=1225/64، فيكون د هـ′=35/8=4.375 سم. كذلك ج هـ′=(13/8)ب′ د متجهًا؛ التوازي ما زال صحيحًا في السؤال المعدل.

نعود إلى الترتيب5 و8 و7، ونغير زاوية الشعاعين إلى60°. تصبح د₂=(7/2،7√3/2)، وهـ₂=(91/10،91√3/10). فرق النقاط(28/5،28√3/5) له مربع طول3136/25 نفسه، فالناتج11.2 سم.

لا يغير اختيار30° أو60° نتيجة التناسب؛ لا نشترط زاوية قائمة لتحديد النسبة بالتوازي. [2]

لكن الزاوية0° تجعل الشعاعين متطابقين، و180° تجعلهما على مستقيم واحد في اتجاهين؛ يتلاشى المثلث ولا تحدد الخطوط المتراكبة نهاية وحيدة بهذا التسلسل.

لا يجوز استعمال أول طول يساوي صفرًا في حساب م ن/ل، ولا نعالج الأطوال السالبة بوصفها قطعًا معطاة هنا. هذه حالات خارج مدخلاتنا الموجبة. عند إعادة العمل راجع ترتيب5 ثم8، ومركز نقل7 عند أ، وقطعة النتيجة من د إلى هـ.