إنشاء زاوية 45 درجة: غيّر الفتحة بعد رسم العمود المنصف

العمود المنصف يحدد المنتصف والاتجاه

من طرفَي القاعدة ارسم أقواسًا بفتحة واحدة أكبر من نصفها؛ صل التقاطعين ليظهر العمود المنصف. [1][3]

في مثال مستقل، القاعدة ن ق طولها 10 سم؛ ن=(0،0) وق=(10،0). اخترنا فتحة مساعدة 13 سم. دائرتا الأقواس تحققان س²+ص²=169 و(س−10)²+ص²=169. بالطرح −20س+100=0، إذن س=5.

نعوض: ص²=169−25=144، أي ص=±12. نسمي التقاطعين س=(5،12) وص=(5،−12). الخط الواصل بينهما رأسي، ويقطع القاعدة عند م=(5،0). م ن=م ق=5 سم، وعلاقة الاتجاهين الأفقي والرأسي متعامدة.

التقاطعان س وص علامتان لإنشاء الخط الرأسي؛ اسماهما لا يعنيان أنهما نقطتا الشعاع النهائي. في هذا المثال الفتحة 13 أكبر من نصف القاعدة 5، ويحتاج الرسم مساحة كافية لإظهار الأقواس فوق القاعدة وتحتها.

خذ الفتحة الجديدة من المنتصف إلى الطرف

من المنتصف انقل المسافة إلى طرف القاعدة على العمود؛ مد شعاعًا من ذلك الطرف عبر العلامة. [1]

نغيّر الفتحة في مثالنا إلى 5 سم، ومركزها م=(5،0). القوس يقع على (س−5)²+ص²=25. على العمود س=5 نحصل على ص=±5. للرسم العلوي نختار ج=(5،5)، ثم نرسم الشعاع من ن عبر ج؛ النقطة (10،10) تقع عليه أيضًا.

المثلث ن م ج قائم عند م، وساقاه م ن وم ج متساويتان. لذلك تتساوى زاويتاه الأخريان، ومجموعهما 90°؛ كل منهما 45°. [2]

في مثالنا م ن=5 وم ج=5، بينما ن ج=√(25+25)=5√2 سم. المطلوب تساوي الساقين عند الزاوية القائمة، لا تساوي الوتر بإحداهما. رأس الزاوية المطلوبة ن، لا م؛ عند م الزاوية بين القاعدة والعمود 90°.

يمكن تسجيل مرحلتين منفصلتين: الفتحة المساعدة 13 من ن وق لإنشاء العمود، ثم الفتحة 5 من م لإنشاء ج. ثبات الفتحة داخل المرحلة الأولى لا يلزمنا إبقاءها في المرحلة الثانية.

لا تجعل النقطة المساعدة هي العلامة النهائية

لو وصلنا ن بس=(5،12)، كانت ساقا المثلث مع م هما 5 و12، لا 5 و5. ميل ن س=12/5، بينما ميل ن ج=5/5=1. وجود س على العمود لا يكفي؛ ارتفاعها مختلف عن المسافة م ن.

ولو أبقينا الفتحة المساعدة 13 بعد نقل الإبرة إلى م، أعطى القوس نقطة علوية ج′=(5،13). أصبح ميل ن ج′=13/5. هذا الخط لا يطابق ن ج، ولا يصنع مثلثًا بساقين متساويتين. فرق الخطأين أن الأول يستعمل التقاطع القديم، والثاني ينشئ نقطة جديدة بالفتحة القديمة.

في الصورة الداخلية، القواعد الجزئية ن م طولها 5 في اللوحات الثلاث، والارتفاعات 5 و12 و13. المقاييس متساوية؛ لذلك يمكن مقارنة أثر اختيار النقطة من دون أن يخفي اختلاف حجم اللوحات فرق الميل.

عند الشك راجع م ن وم ج بالفتحة نفسها. لا تستخرج زاوية من مظهر خط مائل فقط، ولا تكتفِ بالقول إن العمود صحيح: صحة الخط الرأسي لا تضمن أن العلامة التي اخترتها عليه في الموضع المطلوب.

حافظ على الرأس والاتجاه عند تغيير الجهة أو الحجم

للعلامة السفلى ج₋=(5،−5)، يتجه الشعاع من ن إلى أسفل اليمين. فرقاه الأفقي والرأسي مقدارهما 5، فيكون قياس الزاوية الأصغر مع ن ق هو 45°. هو انعكاس الرسم العلوي حول القاعدة.

أما تمديد خط ن ج العلوي إلى الاتجاه المعاكس، مثل نقطة ك=(−5،−5)، فيجعل الشعاع ن ك مختلفًا عن ن ج. زاويته الأصغر مع الاتجاه الأفقي الموجب 180°−45°=135°. خط واحد يحمل اتجاهين؛ اختر الشعاع الذي يمر بالعلامة المطلوبة من الرأس.

نغير أرقام المثال لا الطريقة: ن=(0،0) وق=(6،0)، وفتحة مساعدة 5. معادلتا الأقواس تعطيان س=3 وص²=25−9=16، فتقاطعهما (3،±4)، والمنتصف م=(3،0). ننقل م ن=3 من م على العمود فنختار ج=(3،3)، لا التقاطع (3،4).

الميل 3/3=1 في المثال الأصغر، والساقان 3 و3. رغم تغير القاعدة والفتحة المساعدة، بقيت الزاوية 45°. احتفظ بالقاعدة غير المنعدمة وبالفتحتين المناسبتين لكل مرحلة؛ عند طول قاعدة صفر لا يبقى طرفان مختلفان ولا مثلث الإنشاء. الصور رسومات تعليمية، لا أدوات قياس ورقية.