استراتيجية حل المشكلات في الرياضيات: فهم وتمثيل وتحقق

الخلاصة السريعة

تبدأ استراتيجية حل المشكلات في الرياضيات بفهم المطلوب وتمثيل المعطيات، ثم اختيار مسار للحل وفحص النتيجة. وقد نعود إلى خطوة سابقة لتعديل الفهم أو الخطة بدل متابعة حساب لا يجيب عن السؤال.^[1]

• الفهم يحدد المعطيات والمجهول والقيود، والتمثيل بالرسم أو الجدول يساعد على تنظيم ما نبحث عنه.^[1]
• من الاستراتيجيات التخمين المنظم والعمل عكسيًا والتصور البصري؛ ويختلف الاختيار بحسب المسألة.^[2]
• في المثال الأصلي، سبع تذاكر بسعر 8 أو 12 وحدة ومجموع 72 وحدة تعني أربع تذاكر بسعر 12 وثلاثًا بسعر 8.
• التحقق يفحص الشروط والحساب معًا؛ وموافقة جواب زميل أو نجاح تجربة واحدة لا يبرهن قاعدة عامة.^[1]

فهم المسألة قبل اختيار العملية

يمكن إعادة صياغة السؤال وتحديد المطلوب وما يلزم لإيجاده، ثم تنظيم المعلومات برسم أو جدول. الهدف أن نعرف ما نبحث عنه، بدل بدء عملية حسابية لمجرد رؤية عدد مألوف.^[1]

لنأخذ مسألة أصلية: اشترى شخص سبع تذاكر، بعضُها بسعر 8 وحدات وبعضُها بسعر 12 وحدة، ودفع 72 وحدة. المطلوب عدد التذاكر من كل سعر. نفترض أن هذين هما السعران الوحيدان، وأنه لا توجد رسوم إضافية.

نسمّي عدد التذاكر الأعلى سعرًا x. عندئذ يكون عدد الأخرى 7−x؛ ويجب أن يكون العددان صحيحين وغير سالبين، فلا يصلح حل يطلب نصف تذكرة.

اختيار خطة: جدول أو عمل عكسي

يعرض NRICH استراتيجيات مثل التجربة والتحسين، والعمل بصورة منظمة، والعمل عكسيًا، والتصور البصري. يمكن اختيار تمثيل يناسب المعطيات، ثم تغييره إذا لم يفتح طريقًا واضحًا.^[2]

في المثال، لو كانت التذاكر السبع بسعر 8 لكان مجموعها 56. بقي فرق 16 عن المبلغ المدفوع، وكل استبدال لتذكرة بسعر 8 بأخرى بسعر 12 يزيد المجموع 4. لذلك نحتاج 16÷4=4 تذاكر أعلى سعرًا، وتبقى 3 أرخص.

يعرض الجدول تخمينات منظمة حول النتيجة، بينما تبدأ طريقة الفرق من المبلغ النهائي وتبحث عما يلزم للوصول إليه. الطريقتان تصفان المسألة نفسها؛ ولا يعني ذلك أن خطة واحدة تناسب كل مسألة.

فحص الحل وتفسيره

نعوّض في السؤال: 4+3=7 تذاكر، و 4×12+3×8=72 وحدة. تحقق عدد التذاكر والمبلغ، كما بقي العددان صحيحين وغير سالبين. ثم نكتب الجواب: أربع تذاكر بسعر 12، وثلاث بسعر 8.

ولا يكفي الاكتفاء برقم مطابق لجواب شخص آخر. يتضمن التقييم تبرير الاستنتاج وفحص الافتراضات؛ ويميز الاستدلال الرياضي بين عرض عملي أو تجربة وبين برهان.^[1]

وإذا كان السؤال عن قاعدة عامة، فإن تجربة قيم قليلة لا تثبتها. أما في هذه المسألة المحددة، فالعلاقة 56+4x=72 تحصر العدد x في 4، ويؤكد التعويض أنه يحقق الشروط.