المتوسط والتباين: هل تسترجع احتمالات ثلاث قيم معلومة؟

استرجاع الاحتمالات من المتوسط والتباين يحتاج معرفة القيم الممكنة. نحل نموذج ثلاث قيم ثابتة، ونفحص الاحتمالات الناتجة، ثم نبين لماذا لا نعمم التعيين على أربعة نواتج. [1][2]

الخلاصة السريعة

في النموذج الآتي يوجد مرشح واحد، ويقبل فقط إذا كانت احتمالاته غير سالبة. [1][2]

• متغير بلا وحدة: X∈{−2,0,2}، باحتمالات p₋ وp₀ وp₊ بالترتيب؛ غير سالبة ومجموعها 1، والصفر مقبول. μ=E(X) وV=E[(X−μ)²] خصائص دقيقة لتوزيع افتراضي، وليست تقديرات عينة. [1][2]
• بتوسيع مربع الانحراف، V=E(X²)−μ²؛ ضع s=V+μ². إذن μ=−2p₋+2p₊ وs=4p₋+4p₊، مع p₋+p₀+p₊=1. [2]
• حل المعادلات يعطي p₋=(s−2μ)/8 وp₀=1−s/4 وp₊=(s+2μ)/8. مجموعها 1؛ يلزم ويكفي 2|μ|≤s≤4 لعدم سلبيتها. عند القبول تعيد المعادلات المتوسط والتباين المطلوبين. [1]
• مثال مؤلف μ=1 وV=2: s=3، والاحتمالات (1/8,1/4,5/8). تحقق: μ=−2/8+10/8=1، وV=9/8+1/4+5/8=2. [1]
• عند μ=1 يلزم ويكفي 1≤V≤3. الطرفان يعطيان (0,1/2,1/2) و(1/4,0,3/4). V=1/2 يعطي مرشحًا p₋=−1/16؛ مرفوض رغم إيجابية التباين. [2]
• لا نعمم: للقيم الممكنة (0,1,2,3)، الاحتمالات (1/4,1/4,1/4,1/4) و(1/6,1/2,0,1/3) مختلفة، لكن كليهما يعطي μ=3/2 وV=5/4. معرفة المتوسط والتباين وحدهما لا تعين كل توزيع. [2]

المراجع

1. OpenStax: المتوسط والتشتت
2. MathWorld: تباين التوزيع

التباين والانحراف المعياري

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.