نصفا قطر الحلقة من المساحة والمحيط يُسترجعان عندما نقصد بالمحيط مجموع حدّيها الدائريين. نستخرج المجموع والفرق، ثم نختبر وجود فتحة موجبة. [1][2]
الخلاصة السريعة
المحيط يحدد مجموع نصفي القطر، والمساحة تحدد فرقَهما؛ فنستعيدهما وحيدًا إذا تحققت شروط الحلقة. [1][2]
- نفترض حلقة مستوية بين دائرتين متحدتي المركز: R نصف القطر الخارجي، وr الداخلي، مع R>r>0. مساحتها A=π(R²−r²). نوحد وحدات الطول؛ المساحة بوحدتها المربعة. [1]
- المحيط الكلي P=2πR+2πr=2π(R+r) يجمع الحدين، ولا يطرح الداخلي من الخارجي. إذا S=R+r، فإن S=P/(2π). هذا مجموع نصفي القطر؛ ليس نصف القطر الخارجي نفسه. [2]
- عرض الحلقة الشعاعي t=R−r. بتحليل فرق المربعين: A=πtS. لذلك t=A/(πS)=2A/P. هذه علاقة دقيقة. [1][2]
- نجمع المجموع والفرق: R=(S+t)/2=P/(4π)+A/P، وr=(S−t)/2=P/(4π)−A/P. هاتان قيمتان وحيدتان للمعطيين؛ وشرط t>0 يعطي R>r، بينما t<S يضمن r>0. [1][2]
- مثال مؤلف: P=40πcm وA=80πcm². نجد S=20cm وt=4cm؛ إذن R=12cm وr=8cm. التحقق: P=(24π+16π)cm=40πcm، وA=(144−64)πcm²=80πcm². cm سنتيمتر، وcm² سنتيمتر مربع. [1][2]
- يلزم ويكفي P>0 و0<A<P²/(4π): حينها t>0 وt<S، والصيغ تعيد المساحة والمحيط المطلوبين. في المثال، A=400πcm² يعطي r=0، أي قرصًا مستبعدًا؛ وما فوقه مستحيل. A=0 يعطي عرضًا صفرًا، وليس حلقتنا. [1][2]
حدد الحلقة ووحدات القياس
نفترض حلقة مستوية بين دائرتين متحدتي المركز: R نصف القطر الخارجي، وr الداخلي، مع R>r>0. مساحتها A=π(R²−r²). نوحد وحدات الطول؛ المساحة بوحدتها المربعة. [1]
اجمع محيطي الحدين
المحيط الكلي P=2πR+2πr=2π(R+r) يجمع الحدين، ولا يطرح الداخلي من الخارجي. إذا S=R+r، فإن S=P/(2π). هذا مجموع نصفي القطر؛ ليس نصف القطر الخارجي نفسه. [2]
استخرج العرض من المساحة
عرض الحلقة الشعاعي t=R−r. بتحليل فرق المربعين: A=πtS. لذلك t=A/(πS)=2A/P. هذه علاقة دقيقة. [1][2]
استعد نصفي القطر
نجمع المجموع والفرق: R=(S+t)/2=P/(4π)+A/P، وr=(S−t)/2=P/(4π)−A/P. هاتان قيمتان وحيدتان للمعطيين؛ وشرط t>0 يعطي R>r، بينما t<S يضمن r>0. [1][2]
تحقق من المثال في القانونين
مثال مؤلف: P=40πcm وA=80πcm². نجد S=20cm وt=4cm؛ إذن R=12cm وr=8cm. التحقق: P=(24π+16π)cm=40πcm، وA=(144−64)πcm²=80πcm². cm سنتيمتر، وcm² سنتيمتر مربع. [1][2]
افحص شرط وجود الفتحة
يلزم ويكفي P>0 و0<A<P²/(4π): حينها t>0 وt<S، والصيغ تعيد المساحة والمحيط المطلوبين. في المثال، A=400πcm² يعطي r=0، أي قرصًا مستبعدًا؛ وما فوقه مستحيل. A=0 يعطي عرضًا صفرًا، وليس حلقتنا. [1][2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.