الأوتار المتساوية: قِس العمود من المركز لا المسافة إلى الطرف

أي مسافة يقصدها تساوي بعد الوترين؟

تساوي بعد وترين عن المركز يعني تساوي العمودين المرسومين إليهما منه. في الدائرة نفسها يكافئ ذلك تساوي طولي الوترين. [1]

نرمز لطول الوتر بـL ونصف القطر بـR والبعد العمودي بـh. العمود من المركز ينصف الوتر الذي لا يمر بالمركز. [3]

من المثلث القائم: h²+(L/2)²=R²، فيكون L=2√(R²−h²) وh=√(R²−(L/2)²). نأخذ الجذر غير السالب للأطوال.

عند h=0 يكون الوتر قطرًا وطوله2R. الوتر بطرفين مختلفين يتطلب0≤h<R، أي0<L≤2R. لا نُدخل h=R في قائمة الأوتار ذات الطول الموجب.

المسافة من المركز إلى طرف أي وتر هيR، فلا تصلح وحدها لتمييز بعد الوترين. في المثال التالي كل طرف يبعد13 عن المركز، مع أن الوتر الثالث أقصر من الأولين.

وتر أفقي وآخر مائل: العمودان بطول5

نختار دائرة س²+ص²=169 ومركزها و=(0،0)، فنصف قطرها13 وحدات. عند ص=5 تصبح س²=169−25=144. الطرفان أ=(−12،5) وب=(12،5)، وطولهما24؛ منتصفهما م=(0،5) وبُعده عن و5.

نختار الوتر المائل على المستقيم3س+4ص=25. النقطة ن=(3،4) تحقق المستقيم وتبعد5 عن و. متجه و ن=(3،4) عمودي على اتجاه المستقيم(4،−3) لأن3×4+4×(−3)=0؛ إذن ن قدم العمود.

اتجاه وحدي على الوتر هو(4/5،−3/5). نصف طوله من الحساب √(169−25)=12، فنضيف إلى ن أو نطرح منها12×(4/5،−3/5)=(9.6،−7.2). الطرفان ج=(12.6،−3.2) ود=(−6.6،11.2).

نفحص ج: مربع بعدها12.6²+(−3.2)²=158.76+10.24=169، وقيمة3س+4ص=37.8−12.8=25. ونفحص د:43.56+125.44=169، وقيمة−19.8+44.8=25. كلاهما على الدائرة والمستقيم.

منتصف ج ود=(3،4). فرق ج−د=(19.2،−14.4)، ومربع طوله368.64+207.36=576؛ الطول24. لذلك تساوى طول الوترين رغم اختلاف اتجاهيهما، ووافق العمودان بطول5.

لو وصلنا و بج وحسبنا13، لكنا قد حسبنا نصف القطر لا العمود إلى الوتر. التعامد والتحقق من وقوع القدم على مستقيم الوتر يمنعان هذا الخلط.

الوتر الأقرب أطول داخل الدائرة نفسها

في الدائرة نفسها، الأقرب إلى المركز أطول، والقطر أطول الأوتار. [2]

في R=13 نختار وترًا آخر ص=12. نحصل على س²=169−144=25، فطرفاه(−5،12) و(5،12)، وطوله10. بعده12 أكبر من5، وطوله10 أصغر من24.

القطر الأفقي ص=0 طرفاه(−13،0) و(13،0)، وطوله26. لا يمكن لوتر في الدائرة ذات نصف القطر13 أن يزيد على26، لأن R²−h²≤R² في صيغة نصف الطول.

وللمقارنة الجبرية العامة عند R ثابت و0≤h1<h2<R، فإن R²−h1²>R²−h2²؛ الجذر الموجب يحفظ الترتيب، فيكون L1>L2. ثبات R جزء من الحجة، وليس تفصيلًا يمكن إسقاطه.

نراجع الوتر المطلوب قبل الحساب. لو طلب طول30 في دائرة R=13، صار h²=169−15²=−56؛ لا بُعد حقيقي يحققه. وإذا كان h=13 على الخط ص=13، تصبح س²=0 وتوجد(0،13) وحدها؛ وإذا كان h=14 تصبح س²=−27 ولا توجد نقطة.

نصف قطر آخر يغيّر معنى المقارنة

نختار دائرتين مستقلتين، مركز كل منهما الأصل في لوحته، ونقارن وترين على بعد6 من مركزيهما. في R=10: L=2√(100−36)=16. وفي R=13: L=2√(169−36)=2√133≈23.065 وحدة.

البعدان6 متساويان، لكن الطولين مختلفان لأن مربع نصف القطر تغير. لا يصح استعمال عبارة «متساويان في البعد إذن متساويان في الطول» عبر هاتين الدائرتين.

نعكس الاختبار: نريد L=16 في دائرتين. في R=10، نجد h=√(100−64)=6. وفي R=17، نجد h=√(289−64)=15. طولا الوترين متساويان، لكن بعديهما مختلفان.

يمكن التحقق بإحداثيات بسيطة: في الأولى الطرفان(−8،6) و(8،6)، ومربع بعد كل منهما100. في الثانية الطرفان(−8،15) و(8،15)، ومربع بعد كل منهما289. طول كل قطعة16، بينما قدم العمود إلى الثانية أبعد.

من h²=R²−L²/4، يثبت أن تساوي L يعطي تساوي h عندما يتساوى R. ومن الصيغة المقابلة يثبت العكس كذلك. لذلك يمكن نقل الحساب إلى دائرتين لهما نصف القطر نفسه، مع قياس بعد كل وتر من مركز دائرته.

وحّد الوحدات، وحدد المركز ونصف القطر، ثم تحقق من العمود. اتجاه الوتر لا يغير النتيجة، لكن نصف القطر يغيرها؛ احتفظ بالجذر الدقيق قبل التقريب إلى ثلاث منازل عشرية.