الانحراف المتوسط عن المتوسط الحسابي هو متوسط المسافات المطلقة بين القيم ومتوسطها. يحسب التشتت دون تربيع الفروق. نوضح المقصود بمجموعة بيانات افتراضية، ثم نغير قيمة فيها ونقارن. [1]
القانون وما الذي نجمعه
للبيانات x₁,…,xₙ ذات المتوسط x̄، نحسب AAD=(|x₁−x̄|+…+|xₙ−x̄|)/n. العدد n هو عدد المشاهدات، وليس عدد القيم المختلفة. [1]
القيمة المطلقة تحول الفرق إلى مسافة غير سالبة. لا نجمع الفروق بإشاراتها؛ فالموجب والسالب قد يتعادلان، مع بقاء القيم متباعدة عن المتوسط. [1]
اخترنا القيم 2 و 4 و 7 و 7 و 10 كمقادير افتراضية بالسنتيمتر. تكرار 7 مرتين يعني مشاهدتين، ولذلك العدد 5. المتوسط (2+4+7+7+10)/5=30/5=6 سم.
جدول كامل لمثال محلول
| القيمة الأصلية بالسنتيمتر | الفرق عن 6 | المسافة المطلقة عن 6 |
|---|---|---|
| 2 | −4 | 4 |
| 4 | −2 | 2 |
| 7 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 1 |
| 10 | 4 | 4 |
مجموع الفروق بإشاراتها −4−2+1+1+4=0. أما مجموع المسافات فهو 4+2+1+1+4=12 سم، فنقسمه على 5: AAD=12/5=2.4 سم. النتيجة تصف متوسط البعد عن 6 في هذه البيانات.
لا تستبدل القسمة على 5 بالقسمة على 4 في هذا القانون. ولا تحذف إحدى مشاهدتي 7؛ حذفها يغير مجموعة البيانات ومتوسطها ومسافاتها، فلا يبقى المثال نفسه.
ماذا يحدث إذا تغيرت قيمة واحدة؟
غيّرنا القيمة 10 إلى 20، وبقيت بقية القيم 2 و 4 و 7 و 7. المتوسط الجديد 40/5=8 سم. تصبح المسافات 6,4,1,1,12 سم، ومجموعها 24، فيكون الانحراف المتوسط 24/5=4.8 سم.
هنا تضاعف الانحراف المتوسط، لكن المتوسط نفسه انتقل من 6 إلى 8. لذلك لا يصح تبديل المسافة الأخيرة وحدها في الجدول القديم؛ كل فرق يجب أن يحسب عن المركز الجديد.
زيادة مقدار واحد لا تمنح قاعدة ثابتة لتغير هذا المقياس في كل مجموعة. يبين المثال المعين أثر تغيير معلوم، مع إعادة الحساب كاملة، ولا يمثل نتيجة مسح أو تجربة.
الفرق بين المقاييس
الانحراف المعياري يبنى على فروق مربعة ثم جذر تربيعي؛ لذلك يختلف حسابه عن متوسط المسافات المطلقة. وتعيد عملية الجذر وحدة الانحراف المعياري إلى وحدة البيانات. [2]
وسيط الانحرافات المطلقة يستعمل مركزًا آخر: نحسب median(|xᵢ−median(x)|). إنه وسيط مسافات عن الوسيط، وليس متوسط مسافات عن المتوسط الحسابي. [2]
في بياناتنا الأولى الوسيط 7. مسافات القيم عنه هي 5,3,0,0,3، وترتيبها 0,0,3,3,5؛ وسيطها 3 سم. أما متوسط هذه المسافات فهو 11/5=2.2 سم. كلاهما يختلف عن 2.4 سم المحسوبة عن المتوسط 6.
لهذا نكتب اسم المركز وعملية التجميع، ولا نعتمد الاختصار MAD وحده لتحديد القانون. السؤال الذي يقول «متوسط» يحتاج بيان هل يقصد المتوسط الحسابي أو وسيط المسافات.
وحدة النتيجة ومراجعة الصفر
وحدة متوسط الانحراف المطلق هي وحدة البيانات لأننا لم نربع المسافات. أما التباين فيربع الوحدة. المقارنة العددية بين مقاييس مختلفة لا تجعلها قانونًا واحدًا. [2]
في مثال خمس قيم كلها 8 سم، المتوسط 8 والمسافات الخمس صفر، فالنتيجة صفر. وبالعكس، متوسط مسافات غير سالبة لا يساوي صفرًا إلا إذا كانت جميعها صفرًا؛ أي جميع القيم مساوية لمتوسطها. [1]
راجع عدد المشاهدات، والمركز المستخدم، والمطلق قبل الجمع، والوحدة. ولا تعرض النتيجة بوصفها خطأ قياس أو دقة جهاز دون وجود سؤال وبيانات يبرران هذا التفسير.
المصادر ومتابعة القراءة
- NIST Dataplot: تعريف متوسط الانحراف المطلق عن المتوسط (يفتح في نافذة جديدة)itl.nist.gov
- NIST: مقاييس التشتت والانحراف المطلق حول الوسيط (يفتح في نافذة جديدة)itl.nist.gov
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.