البندول المقلوب: هل يكفي تسارع المحور لتثبيته؟

البندول المقلوب يمكن أن يستقر محليًا مع اهتزاز رأسي سريع للمحور؛ التسارع الأعظمي وحده لا يكفي للحكم. [1][4]

الخلاصة السريعة

نحتاج سعة الاهتزاز وتردده وشروط التقريب، لا التسارع وحده. [1]

نموذج: كتلة نقطية وقضيب صلب مهمل الكتلة بطول L>0، وجاذبية ثابتة g>0، وحركة مستوية بلا تخميد. المحور مفروض الحركة yp=Acos(Ωt)؛ A بالمتر وΩ بالراديان/ثانية. A نصف المسافة بين الطرفين؛ f=Ω/(2π) بالهرتز. القضيب ليس خيطًا. [3]
الزاوية θ من الرأسي لأعلى، بالراديان: θ¨=(g/L−AΩ²cos(Ωt)/L)sinθ. النقطتان مشتقة زمنية ثانية. عند A=0 يبقى θ=0 حلًا، لكنه غير مستقر: الميل الصغير ينمو. الجاذبية لا تنعكس. [3]
لـ A/L≪1 وΩ≫√(g/L) مع فصل زمن الحركة البطيئة: Θ زاويتها، وK=A²Ω²/(2L²)−g/L بوحدة s⁻². قرب الأعلى Θ¨≈−KΘ. K>0 يعطي استقرارًا محليًا في التقريب؛ المساواة لا تثبت حدًا دقيقًا عند تردد محدود. [2]
مثال مؤلف L=0.5m,g=10m/s²: عند A=0.01m، تغيير Ω من 200 إلى 400rad/s يغير K من −12 إلى 12s⁻². زوج آخر (A,Ω)=(0.02m,200rad/s),(0.005m,400rad/s) له تسارع أعظمي واحد AΩ²=800m/s²؛ الأول مستقر محليًا والثاني غير مستقر. الحساب الخطي عند الترددين يوافق التقريب. [1][2]
الاستقرار هنا مقاومة اضطراب زاوي صغير؛ ليس انجذابًا إلى السكون بلا تخميد، ولا ضمانًا لكل ميل ابتدائي. العرض المنشور يؤكد إمكان التثبيت، لكن أرقامنا تخص كتلة نقطية وقضيبًا مهمل الكتلة؛ ليست مواصفات جهاز أو تجربة أجريناها. [1][4]

حدد حركة المحور

نموذج: كتلة نقطية وقضيب صلب مهمل الكتلة بطول L>0، وجاذبية ثابتة g>0، وحركة مستوية بلا تخميد. المحور مفروض الحركة yp=Acos(Ωt)؛ A بالمتر وΩ بالراديان/ثانية. A نصف المسافة بين الطرفين؛ f=Ω/(2π) بالهرتز. القضيب ليس خيطًا. [3]

أصلي؛ ليس بمقياس. [3]

اكتب معادلة الزاوية

الزاوية θ من الرأسي لأعلى، بالراديان: θ¨=(g/L−AΩ²cos(Ωt)/L)sinθ. النقطتان مشتقة زمنية ثانية. عند A=0 يبقى θ=0 حلًا، لكنه غير مستقر: الميل الصغير ينمو. الجاذبية لا تنعكس. [3]

متوسط yp¨=−AΩ²cos(Ωt) صفر؛ الأثر الزاوي لا يلغى. [3]

افحص التقريب قرب الأعلى

لـ A/L≪1 وΩ≫√(g/L) مع فصل زمن الحركة البطيئة: Θ زاويتها، وK=A²Ω²/(2L²)−g/L بوحدة s⁻². قرب الأعلى Θ¨≈−KΘ. K>0 يعطي استقرارًا محليًا في التقريب؛ المساواة لا تثبت حدًا دقيقًا عند تردد محدود. [2]

الرسم يعرض طاقة فعالة مطبعة؛ أدنى المنحنى قرب Θ=0 يقابل K>0. [2]

قارن حالات لها تسارع واحد

مثال مؤلف L=0.5m,g=10m/s²: عند A=0.01m، تغيير Ω من 200 إلى 400rad/s يغير K من −12 إلى 12s⁻². زوج آخر (A,Ω)=(0.02m,200rad/s),(0.005m,400rad/s) له تسارع أعظمي واحد AΩ²=800m/s²؛ الأول مستقر محليًا والثاني غير مستقر. الحساب الخطي عند الترددين يوافق التقريب. [1][2]

تحقق عددي مستقل: حسبنا تطور اضطرابين خطيين خلال دورة للمحور، مع تصغير خطوة الحساب؛ ليس تسجيلًا تجريبيًا. [1]

ميز الاستقرار عن السكون

الاستقرار هنا مقاومة اضطراب زاوي صغير؛ ليس انجذابًا إلى السكون بلا تخميد، ولا ضمانًا لكل ميل ابتدائي. العرض المنشور يؤكد إمكان التثبيت، لكن أرقامنا تخص كتلة نقطية وقضيبًا مهمل الكتلة؛ ليست مواصفات جهاز أو تجربة أجريناها. [1][4]

يبقى في الحل اهتزاز سريع وحركة بطيئة؛ الاستقرار لا يعني اختفاء كليهما. [1]

طاقة الحركة البطيئة الفعالة قرب الأعلى — أصلي: `Θ` بالراديان، والرأسي فرق الطاقة الفعالة على `mL²` بوحدة `s⁻²`. الأخضر أدنى محليًا، والبرتقالي أعلى؛ الحروف لحالات المثال. [2]

المراجع

قوانين حركة البندول

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.