التكامل المحدود يقيس مقدارًا متراكمًا على فترة ذات حدين. وفي الرسم البياني يجمع المساحات فوق محور x بإشارة موجبة وتحته بإشارة سالبة، لذلك قد يختلف عن المساحة الهندسية الكلية. يمكن حسابه من دالة أصلية بشروط مناسبة، أو فهمه من مجموع مستطيلات يقترب من قيمة دقيقة. [1][2]
قراءة الرمز وشروط المثال الأساسي
في ∫[a,b] f(x) dx، يحدد a و b طرفي الفترة، و f(x) الدالة التي نجمع أثرها، و dx يشير إلى متغير التكامل. إذا كانت f مستمرة على الفترة المغلقة [a,b]، فإنها قابلة للتكامل هناك. الاستمرارية شرط كاف، لكنها ليست شرطًا لازمًا لكل دالة قابلة للتكامل. [1]
التكامل المحدود المستخدم في الأمثلة الآتية له طرفان محدودان ودالة مستمرة على الفترة بينهما. نحدد هذه الشروط قبل الحساب، ونقرأ ترتيب الحدين لأن عكسهما يغير إشارة الناتج.
كيف تنشأ القيمة من مجموع ريمان؟
نقسم الفترة إلى n أجزاء متساوية عرض كل منها Δx=(b−a)/n. نختار نقطة داخل كل جزء، ونضرب قيمة الدالة هناك في عرض الجزء، ثم نجمع هذه المنتجات. عندما نزيد دقة التقسيم في دالة مستمرة، يقترب المجموع من التكامل. [3]
مثلًا للدالة f(x)=x² على [0,2]، نعطي أربعة أجزاء عرض كل منها 0.5. اختيار الأطراف اليسرى يعطي 0.5×(0²+0.5²+1²+1.5²)=1.75. اختيار الأطراف اليمنى يعطي 0.5×(0.5²+1²+1.5²+2²)=3.75.
التقدير الأيسر أقل من المساحة هنا لأن الدالة متزايدة، والتقدير الأيمن أكبر منها. القيمة الدقيقة هي 8/3≈2.6667، فتقع بينهما. لا نعمم ترتيب التقديرين على دالة تتناقص أو تغير اتجاهها من غير فحص.
الحساب باستخدام الدالة الأصلية
إذا كانت f مستمرة على [a,b] وكانت F دالة أصلية لها، أي F′(x)=f(x)، فإن ∫[a,b] f(x) dx = F(b)−F(a). نحسب قيمة F عند الحد الأعلى أولًا، ثم نطرح قيمتها عند الحد الأدنى. [2]
لحساب ∫[1,3] (2x+1) dx نختار F(x)=x²+x. عند 3 نحصل على 12، وعند 1 نحصل على 2؛ إذن التكامل 10. نتحقق باشتقاق F، فنعود إلى 2x+1.
لا نضع ثابتًا اعتباطيًا في الجواب النهائي لتكامل محدد الطرفين؛ فالثابت الموجود في أي دالة أصلية يلغي نفسه في الفرق: (F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a). في المقابل، التكامل غير المحدود يصف عائلة من الدوال الأصلية مع ثابت C.
المساحة الموقعة والمساحة الكلية
في f(x)=x−1 على [0,3]، تكون الدالة سالبة بين 0 و 1 وموجبة بين 1 و 3. المثلث تحت المحور مساحته 1×1/2=0.5، والمثلث فوقه مساحته 2×2/2=2.
التكامل يساوي −0.5+2=1.5. ويمكن التحقق باستخدام F(x)=x²/2−x: نطرح F(0) من F(3)، فنحصل على 4.5−3=1.5. أما مجموع المساحتين الهندسيتين فهو 0.5+2=2.5.
إذا طلب السؤال «المساحة بين المنحنى والمحور»، نجمع مساحات الأجزاء بقيم موجبة، أو نحسب ∫[0,3] |x−1| dx. أما إذا طلب التكامل نفسه، نحافظ على إشارات الدالة ولا نستبدلها بالقيمة المطلقة. [1]
معنى النتيجة في الحركة والوحدات
افترض سرعة متجهة في خط مستقيم مقدارها v(t)=t−1 مترًا لكل ثانية، والزمن من 0 إلى 3 ثوان. الإشارة السالبة قبل الثانية الأولى تعني الحركة بعكس الاتجاه الموجب. التكامل يعطي إزاحة 1.5 متر، بينما تكامل مقدار السرعة يعطي مسافة 2.5 متر.
هذه الأعداد تختلف لأن الإزاحة تحسب أثر الاتجاه، والمسافة تجمع طول المسار كله. وتبقى الوحدات مفيدة للفحص: حاصل ضرب متر لكل ثانية في ثانية يعطي مترًا. عند تكامل معدل تغير كمية، تكون وحدة الناتج وحدة تلك الكمية المتراكمة. [1]
خصائص تسهل الحل
| الخاصية | الصيغة أو المعنى |
|---|---|
| عكس الطرفين | ∫[b,a] f dx = −∫[a,b] f dx |
| طرفان متساويان | ∫[a,a] f dx = 0 |
| تقسيم الفترة عند c | ∫[a,b] f dx = ∫[a,c] f dx + ∫[c,b] f dx |
| الجمع وضرب ثابت | ∫[a,b] (αf+βg) dx = α∫[a,b] f dx + β∫[a,b] g dx |
نفترض أن الدوال قابلة للتكامل في الفترات المستخدمة، وأن α و β ثابتان. تغيير اسم متغير التكامل من x إلى t لا يغير النتيجة إذا تغيرت الصيغة كلها بصورة متسقة؛ فهذا اسم داخلي للحساب، لا خاصية تبديل بين عمليتي جمع أو ضرب. [1]
ومن الضروري فصل الاستمرارية عن قابلية الاشتقاق: الدالة |x| مستمرة وقابلة للتكامل على [−1,1]، لكن مشتقتها غير موجودة عند 0. لذا لا نستنتج أن كل دالة مستمرة قابلة للاشتقاق في جميع نقاط الفترة.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax: تعريف التكامل والمساحة الموقعة والخصائص (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax: المبرهنة الأساسية وتقييم الدالة الأصلية (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax: تقريب المساحة بالمستطيلات ومجاميع ريمان (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.