الجمع والطرح في النظام الثنائي: أمثلة خطوة بخطوة للحمل والاستلاف

ابدأ بفهم قيمة الخانات

من اليمين تبدأ أوزان الخانات بـ 1، ثم 2، ثم 4، ثم 8، وهكذا يتضاعف الوزن في كل انتقال إلى اليسار. مثلًا، العدد 1011₂ يساوي 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀. الصفر لا يلغي الخانة؛ بل يعني أن وزنها لا يضاف إلى قيمة العدد. ^[1]

قبل الجمع أو الطرح، ضع الأعداد تحت بعضها مع محاذاة الخانة اليمنى. تستطيع إضافة أصفار على اليسار لتساوي عدد الخانات من دون تغيير القيمة؛ فالعددان 110₂ و0110₂ متساويان.

الجمع: تتبع الحمل في كل خانة

القواعد الأساسية هي: 0+0=0، و0+1=1، و1+0=1، و1+1=10₂. وإذا اجتمع الواحدان مع حمل سابق، يصبح المجموع 11₂؛ تكتب واحدًا وتحمل واحدًا آخر. الرقم المحمول يشارك في جمع الخانة التالية ولا يضاف بعد انتهاء العملية. ^[1]

لجمع 1011₂ + 0110₂، ابدأ من اليمين: 1+0 ينتج 1. ثم 1+1 ينتج 10، فتكتب 0 وتحمل 1. في الخانة الثالثة يكون 0+1+الحمل مساويًا لـ10، فتكتب 0 وتحمل 1. وفي الرابعة يكون 1+0+الحمل مساويًا لـ10؛ تكتب 0 وتضع الحمل الأخير في خانة جديدة. الناتج هو 10001₂.

للتأكد، حول العددين والناتج إلى العشري: 11+6=17، و10001₂=16+1=17₁₀. هذا التحقق يفيد في كشف خطأ نسيان حمل، لكنه لا يغني عن فهم خطوات الجمع.

الطرح: من أين تأتي قيمة الاستلاف؟

عندما تحتاج إلى طرح 1 من 0، تستلف واحدًا من الخانة التالية الأكبر. لأن الوزن يتضاعف بين الخانتين، تصبح قيمة الخانة الحالية 2، فتستطيع إجراء 2-1=1. وتنقص الخانة التي أعطتك الاستلاف بمقدار واحد. وإذا كانت صفرًا أيضًا، يجب تتبع الاستلاف إلى خانة أعلى تحتوي على واحد. ^[1]

لنحسب 1110₂ - 0101₂. في اليمين نستلف من خانة الاثنين، فيصبح الطرح 2-1=1. خانة الاثنين أصبحت صفرًا، وطرح الصفر منها ينتج 0. ثم 1-1=0 في خانة الأربعة، و1-0=1 في خانة الثمانية. النتيجة 1001₂، وتوافق 14-5=9 بالعشري.

تدريب قصير ومواطن الخطأ

جرّب أولًا 1001₂ + 0011₂ و1101₂ - 0100₂. الإجابتان هما 1100₂ و1001₂. إذا اختلف جوابك، راجع محاذاة الخانات، وأثر الحمل أو الاستلاف قبل متابعة الخانة التالية.

هذا الشرح للحساب الرياضي على أعداد غير سالبة، ولا يفترض عددًا ثابتًا من الخانات. أما تمثيل الأعداد السالبة أو الفائض في سجل حاسوبي محدود الحجم فيحتاج قواعد إضافية؛ فلا تحذف الخانة الجديدة من الناتج لمجرد أن العددين الأصليين أقصر منها.