ما هو الجيروسكوب؟ تفسير الاستباق وحساب سرعته

الخلاصة السريعة

ما هو الجيروسكوب؟ في النموذج الميكانيكي قرص سريع الدوران ذو محور حر الاتجاه؛ ندرس تغير اتجاهه تحت عزم خارجي. ^[1]

• العزم يغير الزخم الزاوي وفق dL/dt = τ؛ وفي الاستباق المدروس يغير اتجاهه بدل إلغاء قوة الجاذبية. ^[1] والعزم الثقالي يتضمن عامل زاوية الميل.
• للاستباق البطيء مقارنة بدوران القرص نستعمل Ωₚ ≈ mgr/(Iω) و L ≈ Iω؛ ليست الصيغة وصفًا لكل حركة للمدوار. ^[1]
• في المثال: I = 0.003 كغ·م² و ω = 180 راديان/ثانية و m = 0.6 كغ و r = 0.08 م؛ الاستباق نحو 0.871 راديان/ثانية مع g = 9.8 م/ث².
• عند مضاعفة سرعة القرص إلى 360 راديان/ثانية وثبات بقية المعطيات، ينخفض الاستباق إلى نحو 0.436 راديان/ثانية.
• حساس الجيروسكوب في Android يخرج معدل الدوران حول ثلاثة محاور بوحدة راديان/ثانية، وليس زاوية اتجاه مباشرة. ^[2]
• في النموذج، r المسافة بين الارتكاز ومركز الكتلة، و I عزم القصور حول محور دوران القرص. لا نعوض نصف قطر القرص مكان r تلقائيًا. ^[1]

دوران القرص ودوران محوره

العزم يغير الزخم الزاوي وفق dL/dt = τ؛ وفي الاستباق المدروس يغير اتجاهه بدل إلغاء قوة الجاذبية. ^[1]

في الرسم الجانبي يمتد المحور من نقطة الارتكاز إلى القرص، وتؤثر الجاذبية إلى أسفل. أما المنظر العلوي فيوضح تغير اتجاه المحور حول الاتجاه الرأسي.

متى يصلح قانون الاستباق؟

للاستباق البطيء مقارنة بدوران القرص نستعمل Ωₚ ≈ mgr/(Iω) و L ≈ Iω؛ ليست الصيغة وصفًا لكل حركة للمدوار. ^[1]

في النموذج، r المسافة بين الارتكاز ومركز الكتلة، و I عزم القصور حول محور دوران القرص. لا نعوض نصف قطر القرص مكان r تلقائيًا. ^[1]

نكتب المعطيات الخمس في خانات مستقلة قبل القسمة. بهذه الطريقة لا تختلط سرعة الاستباق المطلوبة بسرعة الدوران التي تدخل المقام، ولا تختلط المسافة عن الارتكاز بعزم القصور.

مثال حسابي مستقل

نختار m = 0.6 kg و r = 0.08 m و g = 9.8 m/s² و I = 0.003 kg·m² و ω = 180 rad/s. هذه بيانات نموذج افتراضي.

نحسب البسط mgr = 0.6 × 9.8 × 0.08 = 0.4704 N·m، والمقام Iω = 0.003 × 180 = 0.54 kg·m²/s. ومن ثم Ωₚ ≈ 0.4704 / 0.54 ≈ 0.8711 rad/s.

هذه السرعة أقل كثيرًا من 180 راديان/ثانية: النسبة 0.8711 / 180 ≈ 0.00484. تحقق المقارنة الشرط الذي استخدمناه في التقريب بدل الاكتفاء بالتعويض.

في الصيغة السابقة mgr هو البسط، وليس مقدار العزم عند كل زاوية ميل؛ العزم الثقالي الكامل يحتوي عامل الزاوية. ^[1]

لماذا يبطؤ الاستباق إذا أسرع القرص؟

نضاعف ω وحدها إلى 360 راديان/ثانية. يصبح المقام 0.003 × 360 = 1.08 بوحدة الزخم الزاوي، والاستباق 0.4704 / 1.08 ≈ 0.4356 rad/s.

نقارن الرقمين: 0.4356 / 0.8711 ≈ 0.5. هذا التنصيف يخص تثبيت الكتلة والمسافة وعزم القصور والجاذبية في النموذج؛ ليس قاعدة لتغيير تلك المعطيات كلها معًا.

من المهم ألا نقرأ الأعمدة بالعكس: العمود الأقصر في الشكل يخص القرص الأسرع. المحور يرسم Ωₚ، بينما العددان 180 و 360 يمثلان ω.

حساس الهاتف: معدل أم زاوية؟

حساس الجيروسكوب في Android يخرج معدل الدوران حول ثلاثة محاور بوحدة راديان/ثانية، وليس زاوية اتجاه مباشرة. ^[2]

تتضمن المعايرة تعويض الحرارة والمقياس والانحياز؛ وتعرض النسخة غير المعايرة تقديرًا للانحياز مع معدل الدوران. ^[2]

لو كان خرج افتراضي على محور واحد 0.4 راديان/ثانية مدة 0.5 ثانية، فالتغير المحسوب لذلك الدوران الثابت 0.4 × 0.5 = 0.2 rad. الرقم 0.4 وحده لم يكن زاوية.

هذه مقارنة بين نوعين من الكميات: المعدل يحتاج زمنًا للحصول على تغير زاوي في المثال، أما قانون الاستباق السابق فاحتاج معطيات الجهاز الميكانيكي. لا نستبدل مجموعة المعطيات بقراءة واحدة من الهاتف.