الحركة الدائرية: لماذا يوجد تسارع رغم ثبات السرعة؟

المقدار ثابت، والاتجاه مختلف

تخيل علامة على منصة أفقية تدور حول محور ثابت. حين تكون العلامة يمين المركز، تتجه سرعتها إلى أعلى في الرسم؛ وحين تصل إلى أعلى المسار، تتجه سرعتها إلى اليسار. المسافة المقطوعة في كل ثانية قد تبقى متساوية، لكن متجه السرعة لم يبق كما هو.

السرعة اللحظية مماس للمسار، والتسارع المركزي عمودي عليها نحو المركز في الحالة المنتظمة. ولو زال السبب الذي يحني المسار، انطلق الجسم لحظيًا في اتجاه المماس وفق ظروف الحركة، لا نحو مركز الدائرة. ^[1][3]

ولا يكفي وجود حركة متكررة لنسميها دائرية. الحركة على خط مستقيم ذهابًا وإيابًا ليست مسارًا دائريًا، كما أن نقطة على عجلة سيارة متحركة تحتاج تحديد الإطار المرجعي: مسارها بالنسبة إلى محور العجلة يختلف عن مسارها بالنسبة إلى الطريق.

من الزاوية إلى المسافة

الإزاحة الزاوية Δθ تغير في الزاوية نفسها، وليست زاوية «لكل وحدة زمن». المعدل المتوسط ω̄=Δθ/Δt سرعة زاوية؛ أما السرعة الزاوية اللحظية فنكتبها ω=dθ/dt. الراديان وحدة قياس الزاوية، والراديان لكل ثانية وحدة معدل تغيرها. ^[2]

للدورة الكاملة 2π راديان. إذا أكمل الجسم f دورة في الثانية، فإن ω=2πf، وزمن الدورة T=1/f. ولمسار ذي نصف قطر ثابت، ترتبط السرعة الخطية بالزاوية بالعلاقة v=rω. نستخدم الراديان في هذه الصيغة. ^[2]

على قرص صلب يدور حول محور ثابت، تقطع علامتان زاوية واحدة في الزمن نفسه، لكن العلامة الأبعد تقطع قوسًا أطول. لذلك تساوي السرعة الزاوية لا يقتضي تساوي السرعة الخطية. ^[2]

مثال لمنصة افتراضية

تقع علامة على بعد 0.25 متر من المحور، وتدور المنصة بمعدل 24 دورة في الدقيقة. المعطيات تعليمية وليست مواصفات جهاز. نحول أولًا: f=24/60=0.40 Hz، ومنه T=2.5 s و ω=0.8π≈2.513 rad/s.

السرعة عند العلامة v=0.25×0.8π=0.2π≈0.628 m/s. ثم a_c=v²/r=0.16π²≈1.579 m/s². نستطيع التحقق بالحساب الآخر rω²؛ يعطي القيمة نفسها.

إذا ضاعفنا معدل الدوران إلى 48 دورة/دقيقة مع إبقاء نصف القطر، تضاعفت السرعة إلى نحو 1.257 متر/ثانية، لكن التسارع صار أربعة أمثال قيمته، أي نحو 6.317 متر/ثانية². السبب أن ω يظهر مربعًا في قانون التسارع.

ولو انتقلنا بدل ذلك إلى علامة على بعد 0.50 متر عند 24 دورة/دقيقة، تضاعفت السرعة والتسارع معًا. ثبات ω يختلف عن ثبات v؛ لا نستخدم عبارة «التسارع عكسي مع نصف القطر» دون تسمية ما ثبت في المقارنة.

القوة المركزية وصف للمحصلة

بحسب قانون نيوتن الثاني، تحتاج الحركة المنتظمة محصلة باتجاه المركز مقدارها F_c=mv²/r. قد يحققها شد خيط أو احتكاك أو جذب ثقالي أو مجموع مركبات قوى. ليست هناك قوة إضافية نضيفها إلى هذه القوى لمجرد أن المسار دائري. ^[3]

عند رسم جسم مربوط بخيط، نرسم الشد الفعلي والقوى الأخرى الموجودة. إذا كان الشد وحده يحقق المحصلة الشعاعية في النموذج، فقولنا «الشد قوة مركزية» يصف دوره، ولا يجعل الشد والقوة المركزية سهمين مستقلين. ^[3][4]

في مثال المنصة، لو كانت كتلة الجسم 0.35 كغ وتحققت شروط النموذج، لاحتاج محصلة شعاعية 0.35×1.579≈0.553 N. هذا لا يحدد وحده قوة الاحتكاك المتاحة أو صلاحية منصة حقيقية؛ يلزم وصف التلامس والقوى الأخرى.

إذا تغير مقدار السرعة

في حركة دائرية غير منتظمة توجد مركبة تسارع مماسية تغير مقدار السرعة، إلى جانب المركبة المركزية التي تغير الاتجاه. التسارع الكلي مجموع متجهين، ولا يلزم أن يشير إلى المركز تمامًا. التسارع الزاوي α يصف تغير ω، وللمسار الثابت a_t=rα. ^[1][2]

على سبيل المثال، عند لحظة لها سرعة 3 متر/ثانية ونصف قطر 2 متر وتسارع مماسي 2 متر/ثانية²، نحصل على a_c=4.5 m/s². لأن المركبتين متعامدتان، مقدار المحصلة √(4.5²+2²)≈4.924 m/s²، لا 6.5.

ابدأ حل المسألة بتحديد المسار والإطار المرجعي وما إذا كان المقدار ثابتًا، ثم حول الدورات والأنصاف إلى وحدات متسقة. اختيار الصيغة يتبع هذه الشروط، لا مجرد وجود عجلة أو دائرة في السؤال.