الدلتويد: كيف تتبع نقطة عجلة داخل دائرة؟

الخلاصة السريعة

نتتبع العلامة التي بدأت عند (6,0)، بإضافة دورانها إلى حركة مركز العجلة: C=(4cos t,4sin t) وP=(4cos t+2cos2t,4sin t−2sin2t). عند t=π/3 تصبح P=(1,√3)، بينما نقطة التلامس الحالية T=(3,3√3) مختلفة عنها.

• الدائرة الثابتة مركزها O=(0,0) ونصف قطرها6، والعجلة نصف قطرها2 ومركزها يبعد4 عن O. نختار t زاوية موضع المركز بالراديان، مع تدحرج مثالي دون انزلاق؛ لا يمثل t زمنًا.
• مركز العجلة C=(4cos t,4sin t)، ومتجه العلامة من مركزها (2cos2t,−2sin2t). الصيغة x=4cos t+2cos2t وy=4sin t−2sin2t توافق المرجع عند نصف قطر العجلة2. [2] تعود العلامة إلى بدايتها بعد0≤t≤2π.
• عند t=π/3 تكون C=(2,2√3) وT=(3,3√3) وP=(1,√3). العلامة والتلامس نقطتان متقابلتان على قطر العجلة في هذا الوضع؛ CP=CT=2. المماس عند P هو x+√3y=4 وميله−1/√3.
• تغيير إشارة المركبة الثانية للدوران يعطي W=(1,3√3)، وهي على العجلة أيضًا. لكنها تفشل في معادلة الدلتويد: F=(x²+y²+24x+36)²−8(2x+6)³ يعطي F(W)=3648، بينما F(P)=0.
• الرؤوس هي (6,0) و(−3,3√3) و(−3,−3√3)، عند t=0 وt=2π/3 وt=4π/3. [2] المشتقة تنعدم هناك؛ نأخذ المماس بالحد. المركز O ليس نقطة من المنحنى، لأن OP²=20+16cos3t، وبالتالي2≤OP≤6.
• طول المنحنى الكامل32 وحدة، من تكامل8|sin(3t/2)|. مساحته8π وحدة مربعة، من تكامل4(1−cos3t)، أي2/9 من مساحة القرص الكبير36π. نفرق بين طول الحد والمساحة، وبين المسار الكامل والجزء المرسوم.

حدد الدائرتين والعلامة الأولى

نثبت دائرة مركزها O=(0,0) ونصف قطرها6 وحدات. داخلها دائرة صغيرة نصف قطرها2 تتدحرج دون انزلاق. الدلتويد حالة من المنحنيات التي تنتج من هذه الحركة عندما تكون نسبة نصفَي القطر3. [1]

تلامس الدائرتان من الداخل، فيكون بعد مركز الصغيرة C عن O هو6−2=4. نختار t زاوية اتجاه OC من المحور الأفقي الموجب، عكس عقارب الساعة وبالراديان؛ ثم C=(4cos t,4sin t).

في البداية t=0، والمركز C=(4,0). نثبت علامة P على محيط العجلة عند النقطة (6,0)، وهي نقطة التلامس الأولى مع الدائرة الكبيرة. نتتبع هذه العلامة نفسها بعد الحركة، لا نقطة التلامس الجديدة في كل وضع.

نقطة التلامس الحالية تقع على الشعاع OC، فتكتب T=(6cos t,6sin t). يبقى CT=2، لكن T لا تمثل دائمًا العلامة التي اخترناها. عند الحركة يتغير الجزء المادي من العجلة الذي يلامس الجدار.

نستخدم وحدة طول واحدة في الاتجاهين. النموذج هندسي مثالي بلا سمك ولا انزلاق ولا تشوه؛ لا نقيس قوة احتكاك أو سرعة زمنية. الصور مخططات محسوبة وليست تسجيلًا لعجلة حقيقية.

اجمع حركة المركز مع الدوران الداخلي

مع اختيار البداية والاتجاه، يدور نصف القطر من C إلى العلامة بزاوية−2t بالنسبة إلى المحاور الثابتة. متجهه هو(2cos2t,−2sin2t). نضيفه إلى C فنحصل على x=4cos t+2cos2t وy=4sin t−2sin2t.

هذه صيغة الدلتويد المرجعية x=a(2cos t+cos2t) وy=a(2sin t−sin2t) عند a=2. [2] هنا a نصف قطر العجلة الصغيرة. بعض المراجع تستخدم رمزًا آخر للدائرة الكبيرة؛ لا نضع6 مكان2 دون مراجعة معنى المعامل.

يمكن مراجعة اتجاه الدوران من شرط عدم الانزلاق. بالنسبة إلى t، مشتقة المركز4(−sin t,cos t). عند التلامس يكون نصف القطر من C هو2(cos t,sin t)؛ الدوران بمعدل−2 يعطي أثرًا معاكسًا4(sin t,−cos t)، فيلغي حركة المركز عند النقطة المادية الملامسة.

لا يعني هذا الإلغاء أن موضع T ثابت مع تغير t. إن T(t) يحدد موضع التلامس الحالي، ويشغله جزء مادي جديد من محيط العجلة. العلامة P محددة منذ البداية؛ هذا هو الفرق بين متابعة العلامة ومتابعة موضع التلامس.

لأي t، مربع طول P−C يساوي4cos²2t+4sin²2t=4، فيبقى CP=2. كذلك OC=4، فيظل محيط العجلة داخل القرص الكبير، مع تلامس عند T.

إضافة2π إلى t تعيد المركز واتجاه العلامة معًا؛ لذلك يكفي0≤t≤2π لرسم المنحنى الكامل. المسار مغلق، بخلاف عجلة تتقدم على مستقيم فتنتقل أقواسها إلى مواضع جديدة.

وضع واحد يفرق المركز والتلامس والعلامة

نختار t=π/3. يكون cos t=1/2 وsin t=√3/2، بينما cos2t=−1/2 وsin2t=√3/2. ينتج C=(2,2√3)، وT=(3,3√3)، وP=(1,√3).

متجه C إلى P هو(−1,−√3)، ومتجه C إلى T هو(1,√3). كلاهما طوله2، وإشارتاهما متعاكستان؛ العلامة والتلامس على طرفي قطر واحد في هذا الوضع فقط.

مربع بعد C عن O هو4+12=16، ومربع بعد T هو9+27=36. هذان الفحصان يثبتان مسار المركز والتلامس، بينما مربع CP يثبت بقاء العلامة على العجلة. لا نستبدل أحد هذه الأدوار بالآخر.

نشتق موضع العلامة: x′=−4sin t−4sin2t وy′=4cos t−4cos2t. عند المثال تكون المشتقة(−4√3,4)، فتكون غير صفرية وميل المماس−1/√3.

معادلة المماس x+√3y=4 تمر بـP، لأن1+3=4، ومتجه المشتقة عمودي على متجهها(1,√3). هذا حساب اتجاه المنحنى عند العلامة، لا مجرد رسم خط يبدو مناسبًا للصورة.

الجدول يجمع الأصل والمركز والتلامس والعلامة ونقطة W التي سنختبرها. الصورة الرئيسية تعرض الدائرة الكبيرة والمنحنى الكامل والعجلة في الوضع المختار؛ الصورة الداخلية تكبر العجلة وتعرض جزءًا من المنحنى.

الانتماء إلى العجلة لا يكفي

افترض أننا غيرنا إشارة حد الدوران الثاني في y، فكتبنا y=4sin t+2sin2t مع إبقاء x كما هو. عند t=π/3 تنتج W=(1,3√3). الفرق W−C=(−1,√3)، وطوله2؛ إذن W تقع على العجلة الحالية.

لكن الدوران صار مختلفًا عن−2t الذي فرضته البداية وعدم الانزلاق. وجود نقطتين على الدائرة الصغيرة لا يثبت أنهما تتبعان العلامة نفسها؛ يجب مراجعة المعادلة واتجاه الدوران معًا.

يعطي المرجع معادلة ديكارتية للدلتويد. عند معامله a=2 تصبح (x²+y²+24x+36)²=8(2x+6)³. [2] نضع F=(x²+y²+24x+36)²−8(2x+6)³ لفحص النقاط.

عند P=(1,√3)، يكون x²+y²=4، فينتج الطرف الأيسر64²=4096، والطرف الأيمن8×8³=4096؛ لذلك F(P)=0. اتفق اختبار المعادلة مع التتبع الوسيطي.

أما W فتعطي x²+y²=28، والطرف الأيسر88²=7744، بينما يبقى الطرف الأيمن4096. الفرق F(W)=3648 غير صفري، فتُرفض النقطة رغم اجتيازها اختبار العجلة.

في الصورة الداخلية تمثل القطعة الحمراء CW نصف قطر صحيحًا للعجلة، لكنه يتجه إلى العلامة الخاطئة في هذا التتبع. الأزرق جزء من الدلتويد قرب P؛ لا نعرض الجزء المحدود بوصفه المنحنى كله.

ثلاثة رؤوس والمركز ليس نقطة من المسار

مقدار مشتقة الموضع يساوي8|sin(3t/2)|. ينعدم عند t=0 وt=2π/3 وt=4π/3 ضمن دورة، ثم تتكرر نقطة البداية عند2π. هذه مواضع الرؤوس الثلاثة المدببة. [2]

بالتعويض نجد A=(6,0)، وB=(−3,3√3)، وD=(−3,−3√3). تقع الرؤوس على الدائرة الكبيرة. دوران الشكل بمقدار2π/3 يبدلها ويعيد الشكل نفسه؛ لا توجد أربعة رؤوس مثل أسترويد.

عند A تنعدم مشتقتا الإحداثيين، فلا نحسب الميل من0/0. قرب t=0 تكون x≈6−6t² وy≈2t³، فيقترب اتجاه المماس من الأفقي y=0. الرأس نقطة صحيحة، لكنه ليس موضعًا منتظمًا لهذا المعامل.

يتبع المماسان الحديان عند B وD دوران هذا الخط حول O. انعدام المشتقة عند رأس لا يعني حذف الرأس أو إسقاط أجزاء المنحنى؛ نحتاج إلى اتجاه حدي بدل قسمة مباشرة.

لحسم وضع المركز نجمع مربعي الإحداثيين. نحصل على OP²=20+16cos3t، وبما أن جيب التمام بين−1 و1، فإن2≤OP≤6. لا تصل العلامة إلى O في أي وضع.

كذلك يعطي الفحص الجبري F(O)=36²−8×6³=−432، وهو غير صفري. المركز مرجع للدائرة الكبيرة، وليس نقطة من الدلتويد. تتطابق الرؤوس مع الجدار عند أكبر بعد6، بينما P في المثال عند أصغر بعد2.

طول الحد ومساحة المنطقة كميتان مختلفتان

للطول نستخدم مقدار المشتقة8|sin(3t/2)|، ونكامله من0 إلى2π. يقسم المعامل الدورة إلى ثلاثة أجزاء بين الرؤوس؛ في كل جزء يعطي التكامل32/3، فتكون النتيجة32 وحدة طول.

القيمة المطلقة مهمة، لأن sin(3t/2) يغير إشارته خلال الدورة. تكامل الجيب بإشارته وحدها يسمح بإلغاء أطوال موجبة؛ طول المسار يجمع المقادير في الأجزاء الثلاثة.

للمساحة نستخدم نصف تكامل xy′−yx′ حول المنحنى المغلق. بالتعويض والتبسيط نجد (xy′−yx′)/2=4(1−cos3t). التكامل من0 إلى2π هو8π وحدة مربعة.

المسار يتتبع الحد مرة واحدة خلال الدورة ولا يعيد نقطة داخلية من التتبع. يمكن التحقق جبريًا بكتابة z=4w+2w⁻²، حيث |w|=1: لو أعطى w1 وw2 مختلفان النقطة نفسها، للزم |w1+w2|=2، وهذا لا يحدث لنقطتين مختلفتين على دائرة الوحدة.

توافق القيمتان الطول المرجعي16a والمساحة2πa² عند a=2. [2] مساحة القرص الكبير36π، فتكون نسبة المساحة المحصورة8π/(36π)=2/9. لا نطرح مساحة عجلة واحدة من القرص للحصول على هذه المنطقة؛ العجلة تتغير مواضعها.

محيط الدائرة الكبيرة12π، ومحيط العجلة4π، وطول مسار المركز8π. هذه أطوال لحدود ومسارات مختلفة، بينما32 طول الدلتويد. لا نقارن8π بوحدة مساحة مع8π بوحدة طول لمجرد تطابق العدد المكتوب.

إذا غُيّر مقياس الرسم أو وحدة الطول، تتغير الأطوال والمساحات وفق وحداتها؛ الأعداد هنا تخص نصفَي القطر6 و2. الصورة الرئيسية تعرض المسار الكامل، والداخلية جزءًا منه لتفسير الخطأ؛ حساب32 و8π يخص الحد الكامل.