العلاقة بين الضرب والقسمة: عائلة الحقائق والمصفوفة

الخلاصة السريعة

ترتبط عمليتا الضرب والقسمة بالأعداد نفسها: إذا عرفنا حاصل ضرب عاملين، أمكن قسمة الحاصل على أحدهما غير الصفري لإيجاد العامل الآخر. ^{[1] [2]}

• لعاملي ضرب موجبين، تربط عائلة الحقائق العاملين بحاصل الضرب. ^[1]
• المصفوفة تعرض الصفوف والعناصر في كل صف والعدد الكلي. ^[1]
• نختبر ناتج القسمة بضربه في المقسوم عليه. ^[1]
• عند تساوي العاملين تتكرر الجمل؛ ليست هناك أربع جمل مختلفة.^[1]
• القسمة على الصفر غير معرفة؛ أما صفر على عدد غير صفري فناتجه صفر. ^[2]

كتابة عائلة الحقائق

الحقائق المترابطة تستخدم الأعداد نفسها في جمل الضرب والقسمة. وحين يكون العاملان غير صفريين، يمكن قراءة الحاصل بوصفه مجموع مجموعات متساوية، ثم استرجاع أحد العاملين بالقسمة على الآخر. ^[1]

في مثال مستقل نستخدم 6 و 8 و 48: 6 × 8 = 48، و 8 × 6 = 48، و 48 ÷ 6 = 8، و 48 ÷ 8 = 6. العدد 48 هو الحاصل في جمل الضرب والمقسوم في جمل القسمة؛ ليس عاملًا يجب تبديله مع المقسوم عليه دون حساب.

إذا كان العاملان كلاهما 7، حصلنا على 7 × 7 = 49 و 49 ÷ 7 = 7. تبديل العاملين أو اختيار العامل الآخر لا يعطي جملة جديدة هنا. هذا يفسر لماذا لا نعد الجملة نفسها مرتين لمجرد ظهورها في نموذج عائلة الحقائق.

المصفوفة: سؤالان على التوزيع والتجميع

رسمنا 48 نقطة في ستة صفوف، بكل صف ثماني نقاط. إذا وزعنا 48 بطاقة على ستة أشخاص بالتساوي، أخذ كل واحد 8 بطاقات: 48 ÷ 6 = 8. أما إذا وضعنا ثماني بطاقات في كل ظرف، احتجنا إلى ستة ظروف: 48 ÷ 8 = 6.

في السؤال الأول عدد المجموعات معلوم، ونبحث عن نصيب كل مجموعة. وفي الثاني حجم المجموعة معلوم، ونبحث عن عدد المجموعات. المصفوفة ذاتها تساعد على قراءة السؤالين، لكنها لا تجعل الإجابتين متطابقتين: واحدة 8 بطاقات، والأخرى 6 ظروف.

لنفحص جوابًا مقترحًا: هل 48 ÷ 6 = 9؟ نحسب 9 × 6 = 54، فلا يعود المقسوم 48، إذن الجواب خطأ. عند تجربة 8 نجد 8 × 6 = 48. ويمكن استعمال هذا الفحص مع مسائل القسمة الطويلة بعد إيجاد الناتج.

لماذا لا نبدل طرفي القسمة؟

الضرب تبدِيلي: تبديل العاملين يحافظ على الحاصل. أما القسمة فليست تبديلية عمومًا؛ المقسوم والمقسوم عليه يؤديان دورين مختلفين. كذلك لا نعكس علاقة الضرب إلى قسمة يكون مقامها صفرًا. ^[2]

قارن 48 ÷ 6 = 8 بـ 6 ÷ 48 = 1/8: تبديل العددين غيّر الناتج. ومع الصفر، لدينا 0 × 8 = 0 و 0 ÷ 8 = 0. لكن 0 ÷ 0 ليس 8، ولا يجوز استعماله لاسترجاع ذلك العامل؛ أعداد كثيرة تضرب في صفر فتعطي صفرًا.

تمرين مستقل: كتب طالب 72 ÷ 9 = 8. التحقق هو 8 × 9 = 72، فتنجح الجملة. وإذا سألنا عن عدد مجموعات من تسعة عناصر في 72 عنصرًا، يكون الجواب ثماني مجموعات. أما توزيعها على ثمانية أشخاص فيعطي تسعة عناصر للشخص.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: طريقة القسمة المطولة: المنازل والصفر والباقي.