العناصر المحايدة في الرياضيات: الصفر والواحد وحدود القاعدة

الخلاصة السريعة

العنصر المحايد يبقي كل عدد كما هو عند إجراء العملية من الطرفين. في الأعداد الحقيقية، الصفر محايد للجمع والواحد محايد للضرب. ^[1][2]

• الصفر محايد للجمع، والواحد محايد للضرب في الأعداد الحقيقية. ^[1]
• يشترط المحايد بقاء كل عدد من الطرفين، لا نجاح مثال واحد. ^[2]
• الصفر ممتص في الضرب؛ الناتج صفر بدل إبقاء العدد. ^[1]
• طرح الصفر يبقي العدد من جهة واحدة؛ 8−0≠0−8.
• القسمة على 1 تبقي العدد من جهة واحدة؛ والقسمة على 0 غير معرّفة. ^[1]

حدد العملية قبل تسمية العدد محايدًا

في الجمع a+0=0+a=a، وفي الضرب a×1=1×a=a لأي عدد حقيقي a. ^[1]

نختار −9: نحصل على (-9)+0=-9 و (-9)×1=-9. وعند تبديل الموضع، تكون 0+(-9)=-9 و 1×(-9)=-9. المثال يوضح الشرط، لكنه وحده ليس برهانًا لجميع الأعداد.

اختبار المحايد يشمل كل عنصر في المجال، وفي الجهتين. قد ينجح عدد مع مثال واحد ويفشل مع غيره؛ لذلك لا نستنتج الخاصية من نتيجة مفردة. ^[2]

الصفر في الضرب ممتص، لا محايد

الضرب في الصفر يعطي صفرًا لأي عدد حقيقي؛ هذا أثر ممتص. ^[1]

في مثالنا (-9)×0=0، وقد تغير −9. أما نجاح 0×0=0 فلا يجعل 0 محايدًا للضرب؛ يكفي المثال السابق لرفض الادعاء العام.

يمكن استعمال المحايد في تبسيط مثال نختاره: (14+0)×1+(-3)×0=14+0=14. الخطوة الأخيرة للصفر في الضرب تستعمل الامتصاص، فلا نخلط اسمها مع خطوتي المحايد.

لماذا لا يكفي طرح الصفر أو القسمة على الواحد؟

التعريف من الطرفين مهم هنا. إبقاء العدد في موضع واحد لا يكفي لإثبات محايد للعملية. ^[2]

مثلًا 8-0=8، لكن 0-8=-8. ولو افترضنا محايد طرح e، فإن a-e=a يفرض e=0؛ المثال الثاني يرفضه من الجهة الأخرى.

وكذلك 8÷1=8، لكن 1÷8=0.125. الشرط a÷e=a للأعداد غير الصفرية يفرض e=1، وهو لا يحقق الجهة الثانية عمومًا. ^[2]

القسمة على صفر غير معرّفة. ^[1]

عند التصحيح، سمّ العملية أولًا، ثم افحص بقاء كل عدد من الطرفين؛ مثال مخالف واحد يكفي لرفض ادعاء ينطبق على الجميع.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: من اكتشف الصفر؟ من رمز الخانة إلى عدد له قواعد.