القطر الأكبر في المعين: نثبت الضلع ونقارن المساحة. [1]
الخلاصة السريعة
لا؛ عند ثبات الضلع تَنقص المساحة بزيادة القطر الأكبر. [1]
- معين محدب غير منعدم؛ نثبت طول الضلع
s>0. نسمّيdالقطر الأكبر وeالآخر؛ يشمل النموذج المربع عند تساويهما. [1] - القطران يحققان
d²+e²=4s²، والمساحةA=de/2. لذلك مجال الأكبرs√2≤d<2s. [1] - نستنتج
A²=s⁴−(d²−2s²)²/4. مع ثباتs، يزدادd²−2s²≥0بزيادةd؛ يزداد مربعه وتَنقصA²، فتَنقصAالموجبة. [1] - مثالان مؤلفان بضلع 5 سم: قطران 8 و6 سم يعطيان مساحة 24 سم²؛ و9 و
√19سم يعطيان9√19/2≈19.615سم². نحسب أربع مساحات مثلثية؛ ازداد الأكبر وتناقصت المساحة. [2] - الحكم مشروط بثبات الضلع وتسميتنا القطر الأكبر؛ لا يكفي طول قطر غير محدد للمقارنة. [1]
حدد ما يثبت
معين محدب غير منعدم؛ نثبت طول الضلع s>0. نسمّي d القطر الأكبر وe الآخر؛ يشمل النموذج المربع عند تساويهما. [1]
نقارن معينين لهما الضلع نفسه.
اربط القطرين
القطران يحققان d²+e²=4s²، والمساحة A=de/2. لذلك مجال الأكبر s√2≤d<2s. [1]
من e≤d نحصل على d²≥2s²؛ الحد الأول يسمح بتساوي القطرين. الأخير مستبعد لأن القطر الآخر يصير صفرًا.
برهان المقارنة
نستنتج A²=s⁴−(d²−2s²)²/4. مع ثبات s، يزداد d²−2s²≥0 بزيادة d؛ يزداد مربعه وتَنقص A²، فتَنقص A الموجبة. [1]
هذا اشتقاق جبري من العلاقتين، لا استقراء من الرسم.
مثال بإحداثيات
مثالان مؤلفان بضلع 5 سم: قطران 8 و6 سم يعطيان مساحة 24 سم²؛ و9 و√19 سم يعطيان 9√19/2≈19.615 سم². نحسب أربع مساحات مثلثية؛ ازداد الأكبر وتناقصت المساحة. [2]
نضع الرؤوس (d/2,0)، (0,e/2)، (−d/2,0)، (0,−e/2). كل ضلع وتر قائم بنصفَي القطرين؛ فيثاغورس يعطي 5 سم. مساحة كل مثلث حول الأصل نصف حاصل ضرب قائمتيه؛ نجمع الأربعة.
حدود الحكم
الحكم مشروط بثبات الضلع وتسميتنا القطر الأكبر؛ لا يكفي طول قطر غير محدد للمقارنة. [1]
قد يكون الطول نفسه قطرًا أكبر في معين، وقطرًا أقصر في آخر؛ عيّن الدور قبل تطبيق البرهان.
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.