منحنى الكوكليويد: لماذا لا يكفي المماس المشترك لوصف الأصل؟

الخلاصة السريعة

لأن المماس الأفقي يصف كل مرور محدد، بينما نقاط من حلقات متأخرة تقترب من الأصل باتجاهات أخرى، فلا يوجد اتجاه واحد تشترك فيه جميع خطوط الوصل بالأصل.

• نستخدم r=2sinθ/θ، والصيغتين x=sin2θ/θ وy=2sin²θ/θ عند θ≠0. [1] الزاوية بالراديان، وr إحداثي شعاعي موجه؛ البعد هو |r|. عند θ=0 نضيف بالحد A=(2,0)، لا الأصل، ومماسها رأسي x=2.
• الأصل O=(0,0) يأتي عند θ=nπ لكل عدد صحيح غير صفري n. المشتقة هناك(2/(nπ),0) غير صفرية؛ مماس كل مرور ثابت هو y=0. لا يكفي r=0 للحكم بأن المرور رأس مدبب.
• المماسات المشتركة لا تجعل الفروع واحدة. قرب مرور ثابت nπ تكون y/x²→nπ/2، فتختلف الفروع ذات n المختلف. خارج الأصل تستعيد θ=2y/(x²+y²) معاملًا وحيدًا، لذلك لا تتقاطع الحلقات في نقطة أخرى.
• عند θ=3π/2 يكون r=−4/(3π)، لكن النقطة P=(0,4/(3π)) فوق الأصل. تبديل r إلى |r| عند الزاوية نفسها يعطي W=(0,−4/(3π))؛ هذه نقطة خاطئة لذلك المعامل، لكنها موجودة عند المعامل السالب−3π/2.
• للزوايا θ_n=nπ+φ، حيث n≥1 و0＜φ＜π، تكون النقطة2sinφ(cosφ,sinφ)/(nπ+φ). تقترب من O على شعاع ثابت. اختيار φ=π/2 يعطي اقترابًا رأسيًا، وφ=π/4 يعطي اقترابًا قطريًا؛ لا ينفرد الاتجاه الأفقي بوصف المنحنى كله.
• الحلقة المركزية الكاملة بين−π وπ، والحلقات العليا بين nπ و(n+1)π عند n≥1، مع انعكاسها تحت المحور. البعد لا يتجاوز2، ويؤول إلى صفر عند |θ|→∞. الصورة تعرض عددًا محدودًا من الحلقات، لا كل الاقترابات الممكنة.

ثبت الإشارة وعالج الزاوية صفر

الصيغة المرجعية للكوكليويد هي r=a sinθ/θ، ومعها x=a sinθ cosθ/θ وy=a sin²θ/θ. [1] نختار a=2، فنكتب x=sin2θ/θ وy=2sin²θ/θ. نعمل في مستوى بمحورين متساويي المقياس.

نقيس θ بالراديان من الاتجاه الأفقي الموجب. هذه زاوية تدخل الصيغة، وليست زمن حركة. عندما r＜0 تقع النقطة بعكس شعاع الزاوية؛ المسافة الحقيقية إلى القطب هي |r|، ولذلك لا نستبدل الإحداثي الموجه بمسافة موجبة داخل المعادلة.

عند θ=0 لا تصلح الكسور كما كُتبت. لكن sinθ/θ→1، فيكون r→2 وx→2 وy→0. نكمل المنحنى بالحد إلى A=(2,0)؛ هذا عدم تعريف قابل للإزالة، وليس فرعًا يتجه إلى اللانهاية.

قرب الصفر نجد x=2−4θ²/3+O(θ⁴)، وy=2θ+O(θ³). الرموز O(θ⁴) وO(θ³) تصف رتب البواقي عندما θ→0، ولا تعني نقطة الأصل. المشتقة الممتدة في الصفر هي(0,2)، لذا يكون المماس x=2 رأسيًا.

تبقى كل قيمة حقيقية للمعامل صالحة بعد هذا الإكمال. عند θ=0 نحصل على A لا O؛ وعند مضاعفات π غير الصفرية سنصل إلى الأصل. وجود صفر في المقام لا يحدد الموضع قبل فحص البسط والحد.

في المعادلة نفسها لا نحذف دورات الزاوية من θ. إضافة2π تحافظ على اتجاه الشعاع لكنها تغير المقام، وقد تغير النقطة. زاوية تمثيل نقطة منفردة ومعامل منحنى مرتبط بنصف القطر ليسا الدور نفسه.

راجع مشتقة كل مرور بالأصل

عندما θ=nπ، مع n عدد صحيح غير صفري، يصبح الجيب صفرًا؛ لذلك x=y=0. كل هذه القيم تعطي O=(0,0). الأصل نقطة من المنحنى بالفعل، وليس مجرد نقطة نضمها في نهاية عدد غير محدود من الدورات.

نشتق الصيغتين عند θ≠0: x′=(2θcos2θ−sin2θ)/θ²، وy′=(2θsin2θ−2sin²θ)/θ². الرمز ′ يعني الاشتقاق بالنسبة إلى θ؛ لا نحسب سرعة زمنية لجسم.

عند θ=nπ، تكون cos2θ=1 وsin2θ=sinθ=0. تصبح المشتقة(2/(nπ),0). مركبتها الأفقية غير صفرية لكل n ثابت غير صفري؛ إذن المرور منتظم ومماسه y=0.

إذا n موجب يكون اتجاه متجه المشتقة إلى اليمين، وإذا n سالب يكون إلى اليسار. تغير اتجاه المتجه لا يغير خط المماس الأفقي. لا ننقل وصف الرأس المدبب من منحنى آخر لمجرد أن نصف القطر صار صفرًا هنا.

لتحديد هذا المماس نثبت n أولًا، ثم نقرب θ من nπ. نحن ندرس جزءًا محليًا واحدًا من التتبع. السماح لـn نفسه بالازدياد أثناء الاقتراب عملية أخرى، وسيكون ذلك أساس المقارنة اللاحقة.

ولا تنعدم مشتقة الموضع في أي معامل محدود آخر: مربع مقدارها r′²+r². إذا r≠0 فهو موجب، وإذا r=0 عند nπ فإن r′ غير صفري؛ وعند الصفر عالجنا المشتقة الممتدة(0,2). هذا انتظام التتبع، لا وصف المنحنى المتراكم كله بفرع واحد.

يتوافق المرور المتكرر والملامسة للمحور القطبي مع وصف المرجع الثاني. [2] لكن هذه المعلومة لا تقول إن جميع نقاط الحلقات المتأخرة تقترب من الأصل على اتجاه أفقي واحد؛ يجب اختبار ذلك بطريق مستقل.

فرّق بين الفروع رغم المماس المشترك

خذ مرورًا ثابتًا عند θ=nπ، وانظر إلى نقاط قريبة غير الأصل. عندما تكون النسبة معرفة نجد y/x²=θ/(2cos²θ). تنتج هذه الهوية من الصيغتين الديكارتيتين بإلغاء عوامل الجيب المشتركة، فلا نستعملها عند النقطة0/0 نفسها.

عندما θ→nπ، تؤول cos²θ إلى1؛ لذلك y/x²→nπ/2. قرب المرور عند π تكون النسبة الحديةπ/2، وقرب المرور عند2π تكونπ. يلامس الفرعان الخط الأفقي نفسه، لكنهما لا يتطابقان حول الأصل.

يمكن التعبير عن ذلك محليًا بأن y تقارب(nπ/2)x² في مرور ثابت. إنها علاقة حدية في جوار ذلك المرور؛ لا نزعم أنها معادلة الفرع كاملة، ولا نستعمل تقريبها عند قيم بعيدة من المعامل.

ولدينا فحص يفصل النقاط غير الأصل: x²+y²=4sin²θ/θ²، و2y=4sin²θ/θ. بالقسمة، عندما النقطة غير الأصل، نستعيد θ=2y/(x²+y²). المعامل محدد بالإحداثيين وحدهما.

لذلك لا يمكن أن تأتي نقطة غير الأصل من معاملين مختلفين. الحلقات المختلفة لا تتقاطع إلا في O؛ العودة المتكررة إليه استثناء واضح لأن المقام في العلاقة العكسية يصبح صفرًا هناك.

المماس يحدد اتجاه المرور من الدرجة الأولى، لكنه لا يحدد كل انحناء المسار أو مواضع نقاطه. العلاقة الحدية المختلفة بين y وx² تقدم في هذا المثال معلومة إضافية تميز الفروع، دون اعتماد على سماكة الخطوط في صورة.

افحص نقطة ذات إحداثي شعاعي سالب

نختار θ=3π/2. الجيب−1 وجيب التمام0، فتكون r=−4/(3π). عند التحويل الصحيح x=r cosθ=0، وy=r sinθ=4/(3π)؛ إذن P=(0,4/(3π)) فوق الأصل رغم الإشارة السالبة.

بعد P عن الأصل4/(3π)، نحو0.424413 وحدة. لو استعملنا |r| بدل r مع إبقاء الزاوية3π/2، حصلنا على W=(0,−4/(3π)) أسفل الأصل. فرق الموضعين رأسي وطوله8/(3π)، نحو0.848826 وحدة.

هذا الخطأ يغير النقطة المختارة، لكنه لا يثبت أن W خارج المنحنى كله. عند θ=−3π/2 تعطي الصيغة W بالفعل. يجب أن نحدد هل نختبر نقطة لمعامل معين، أم عضويتها في مجموعة نقاط المنحنى كاملة.

وعند θ=π/2 نجد B=(0,4/π)، فوق P وأبعد عن الأصل. الزاويتان π/2 و3π/2 لا تعطيان النقطة نفسها؛ اختلاف الإشارة واتجاه الشعاع يرافقه هنا تغير في مقدار نصف القطر.

يعرض الجدول O وA وB وP وW ونقطة قطرية Q=(4/(5π),4/(5π)) عند θ=5π/4. جميعها نقاط صحيحة بعد الإكمال، لكن بعضها يأتي من معاملات موجبة وبعضها من معاملات سالبة.

لا نحول الإشارة السالبة إلى مسافة سالبة، ولا نسقطها قبل ضرب الجيب وجيب التمام. هذه المراجعة ضرورية حتى يظهر الاقتراب الرأسي اللاحق في الجهة الصحيحة من الرسم.

اختبر الاقتراب عبر حلقات متأخرة

نختار زاوية ثابتة φ بين0 وπ، ثم نجعل θ_n=nπ+φ، حيث n عدد صحيح موجب. هنا تتغير الحلقة مع n؛ لا نقترب من قيمة واحدة ثابتة للمعامل. يظل كل θ_n محددًا ونقطة المنحنى عنده صحيحة.

نستعمل sin(nπ+φ)=(−1)ⁿsinφ وcos(nπ+φ)=(−1)ⁿcosφ. تتلاشى الإشارتان عند حساب x وy، وتصبح النقطة2sinφ(cosφ,sinφ)/(nπ+φ). العامل أمام متجه الاتجاه موجب ويتجه إلى صفر.

إذن تقترب هذه النقاط من O على الشعاع ذي الاتجاه φ نفسه. عند φ=π/2 تكون V_n=(0,4/((2n+1)π)). عند n=1 نجد P، ثم تظهر ارتفاعات4/(5π) و4/(7π) وهكذا؛ كلها على المحور الرأسي الموجب.

وعند φ=π/4 تكون D_n=(4/((4n+1)π),4/((4n+1)π)). النقطة الأولى Q، والثانية R=(4/(9π),4/(9π)). تقع جميعها على y=x، وتقترب من O على هذا الشعاع القطري.

الاتجاه الرأسي والاتجاه القطري مختلفان، وكلاهما مختلف عن المماس الأفقي لكل مرور ثابت. لذلك لا يوجد اتجاه حدّي واحد لخطوط وصل جميع نقاط المنحنى بالأصل عندما يسمح الاقتراب بالتنقل بين حلقاته.

لا يوجد تناقض مع المشتقة: هناك ثبتنا n ثم قربنا θ من nπ، وهنا زدنا n بلا حد مع تثبيت φ. تبديل ما نثبته وما نرسله إلى الحد يغير السؤال. الرسم الداخلي يجمع جزأين محليين ومجموعتين من نقاط الاقتراب لتوضيح الفرق.

حدد ما يعرضه الرسم وما لا يثبته

الحلقة المركزية الكاملة تتبع−π≤θ≤π؛ تبدأ من O، تمر بالجزء السفلي ثم A ثم العلوي، وتعود إلى O. لا تكون الفترة0≤θ≤π وحدها هذه الحلقة كاملة، لأنها تبدأ في A وتنتهي في O.

لكل n≥1، الفترة nπ≤θ≤(n+1)π ترسم حلقة علوية تبدأ وتنتهي في O. بين الطرفين تكون y=2sin²θ/θ موجبة. القيم السالبة تعطي الانعكاس تحت المحور الأفقي، لأن x زوجية وy فردية في θ.

كل نقطة تبعد عن O بمقدار2|sinθ/θ|، بعد الإكمال في الصفر. المتباينة |sinθ|≤|θ| تجعل هذا البعد≤2. وعندما |θ| يكبر، يعطي |sinθ|≤1 الحد الأعلى2/|θ|، فتتقارب نقاط الحلقات المتأخرة من الأصل.

احتواء المنحنى في قرص نصف قطره2 لا يمنع تعدد اتجاهات الاقتراب عند مركزه. وكذلك، انتظام كل مرور محدود للمعامل لا يحول الحلقات المتراكمة إلى فرع محلي منفرد له وصف واحد لكل نقاط الجوار.

الصورة الرئيسية تعرض الحلقة المركزية وحلقتين في الأعلى وانعكاسهما في الأسفل فقط. والصورة الداخلية تعرض أجزاء قرب المرورين π و2π مع نقاط محدودة من السلسلتين الرأسية والقطرية. لا يمثل عدد المنحنيات أو النقاط المرسومة العدد النظري كله.

نحتفظ بالعبارتين مع مجالهما: كل مرور ثابت بالأصل له مماس أفقي، لكن مجموعة النقاط القريبة من الأصل عبر حلقات متأخرة لا تحمل اتجاه وصل واحدًا. لم نحسب مساحة الحلقات أو طولها، ولم نحول الزاوية إلى وقت وصول أو قياس حركة مادية.