اللوغاريتم ذو الأساس الكسري: لماذا يعكس ترتيب الأعداد؟

ثبت الأساس قبل قراءة الإشارة

في الأعداد الحقيقية نكتب log_b(x)=y بمعنى b^y=x، مع b>0 و b≠1 و x>0. إذا كان الأساس بين صفر وواحد، تكون الدالة اللوغاريتمية متناقصة على مجالها؛ وإذا كان أكبر من واحد، تكون متزايدة. إذن نوع الأساس يحدد كيف تقارن المخرجات. ^[1]

سنستخدم الرمز L(x) للوغاريتم ذي الأساس 1/2، أي إن L(x)=y تعني (1/2)^y=x. كتابة هذا الرمز المختصر تساعد على متابعة الأمثلة، لكنها لا تلغي الأساس. لا تفسر L بأنه اللوغاريتم العشري أو الطبيعي؛ لقد حددناه هنا تحديدًا صريحًا قبل أي حساب أو مقارنة.

الأساس الكسري لا يعني أن الحجة يجب أن تكون كسرًا. يجوز في مثالنا أن تدخل 1/8 أو 1 أو 8، لأنها أعداد موجبة. وقد يكون الناتج موجبًا أو صفرًا أو سالبًا وفق المدخل. لذلك سنفصل بين ثلاثة أشياء في كل خطوة: الأساس الثابت، والحجة التي ندخلها، والأس الذي يخرج من الحساب.

كذلك لا تكفي كلمة «كسري» وحدها لوصف نوع التغير. العدد 3/2 كسر، لكنه أكبر من واحد، بينما 1/2 أصغر من واحد. مدار الدرس هو الشرط 0<b<1، وليس أن صورة الأساس المكتوبة فيها خط كسر. احتفظ بالمقارنة مع الواحد عندما تصنف أساسًا لم تره في أمثلتنا.

ابن قيمًا دقيقة من القوى بدل التخمين

نبدأ بالقوى الصحيحة للنصف. عند الأس 3 نحصل على(1/2)^3=1/8، لذلك L(1/8)=3. وعند الأس 2 نحصل على 1/4، وعند الأس 1 نحصل على 1/2، وعند الأس صفر نحصل على 1. إذن قيم اللوغاريتم لهذه المدخلات هي 3 و 2 و 1 و 0 على الترتيب.

الأس السالب يقلب القوة الكسرية. لدينا(1/2)^(−1)=2، ثم(1/2)^(−2)=4، ثم(1/2)^(−3)=8. لذلك L(2)=−1 و L(4)=−2 و L(8)=−3. راجع الجواب بالعودة إلى القوة؛ مثلًا الجواب−3 للمدخل 8 يعني أن رفع النصف إلى−3 يعيد 8 بالفعل.

لاحظ ترتيب المدخلات من 1/8 إلى 8: كلما تضاعف المدخل هبط الناتج خطوة واحدة في هذه السلسلة. لا ننقل هذه الجملة إلى أساس مختلف بلا حساب. إنها قراءة أعداد اختيرت خصيصًا لتكون قوى للنصف، وتتيح لنا فحص اتجاه الدالة ومعنى الأس السالب من دون تقريب عشري.

ويجب ألّا تخلط بين L(1/8)=3 وبين L(8)=−3. تغيير المدخل إلى مقلوبه غير قيمة الناتج هنا. كتابة الأساس مرة في رأس قائمة الحسابات لا تكفي إذا انتقلت لاحقًا إلى أساس 2؛ سجل الانتقال بوضوح، لأن المدخل نفسه 8 يعطي 3 في أساس 2 و−3 في أساس 1/2.

الإشارة السالبة في الناتج لا تفسد اللوغاريتم

في المثال L(8)=−3، الحجة 8 موجبة والناتج−3 سالب. كل شيء معرف على الأعداد الحقيقية. أما L(−3) فلا يدخل في مجال دالتنا؛ السالب هذه المرة داخل اللوغاريتم نفسه. الرسم بين هذين التعبيرين مختلف، رغم أن كلا السطرين يحتوي الرقم−3.

للمدخلات الواقعة بين الصفر والواحد تكون قيم L موجبة:1/4 يعطي 2، و 1/2 يعطي 1. عند المدخل 1 يكون الناتج صفرًا. وبعد 1 تظهر قيم سالبة، مثل 2 الذي يعطي−1. هذه القراءة تنسجم مع تناقص الدالة ومرورها بالنقطة(1,0)، ولا تجعل المخرجات السالبة استثناءً من التعريف.

يمكن أن يكون المتغير سالبًا أيضًا إذا بقيت الحجة المركبة منه موجبة. مثلًا عند t=−1 تكون الحجة t+3=2، ولذلك L(t+3)=−1 في هذا المدخل. الشرط يتعلق بما ندخله إلى الدالة، لا بإشارة حرف المتغير في سطر مستقل. سنستعمل هذا التمييز عند تكوين مجالات المتباينات.

ولا نستنتج أن L(0)=0 من كون الناتج صفرًا عند المدخل 1. صفر الناتج يخص الحجة 1، لأن أي قوة صفرية لأساسنا تعطي 1. أما الصفر بوصفه حجة فلا يقبل لوغاريتمًا حقيقيًا. احتفظ بكلمتي «حجة» و«ناتج» في مراجعة الإجابة؛ فهما تمنعان تبديلًا صغيرًا في الكتابة يغير معنى المسألة.

اقرأ الرسم مع مقياس المحورين

الرسم الأصلي للدالة L مولد من حساب القوى واللوغاريتم، ويعرض نقاطًا من بينها(1/2,1) و(1,0) و(2,−1) و(4,−2) و(8,−3). نرى هبوط المنحنى عند زيادة المدخل من اليسار إلى اليمين. النافذة المعروضة جزء من المجال الموجب، وليست قائمة بكل المدخلات الممكنة.

المحور الأفقي في الصورة خطي، لذلك المسافة بين 1 و 2 أصغر من المسافة بين 4 و 8. مع ذلك يكون فرق الناتجين في الحالتين−1. لا تتوقع أن تتساوى المسافات الأفقية لمجرد أن النسبة بين المدخلين 2 في كل مرة؛ المسافة الخطية تتبع الفرق العددي، لا النسبة.

إذا رسمت النقاط على ورقة، سجل التدريج قبل وصلها. توزيع المدخلات 1/8 و 1/4 و 1/2 و 1 و 2 و 4 و 8 على خانات متساوية ثم تسمية المحور خطيًا يعطي صورة أخرى لا تمثل الإحداثيات الأصلية. في صورتنا نختار التدريج صراحة، ونستخدم قيمًا دقيقة للتحقق بدل قياس ارتفاع النقاط من شاشة مصغرة.

ليس الهبوط دليلًا على وصول المنحنى إلى الحجة صفر. يمكنك اختيار مدخلات موجبة أصغر مثل 1/16 و 1/32، فتكون المخرجات 4 و 5. هذه أمثلة على استمرار القيم خارج النافذة المرسومة. عدم ظهور نقطة على الصورة لا يرفضها، وامتداد الشكل قرب المحور لا يضيف الصفر إلى المجال.

سبب عكس الترتيب وليس مجرد علامة تحفظها

نقارن مدخلين محددين:2<8، لكن L(2)=−1 و L(8)=−3، ولذلك L(2)>L(8). العدد−1 أكبر من−3 على خط الأعداد. لا تقل إن−3 أكبر لأن الرقم 3 أكبر من 1؛ المقارنة هنا بين عددين سالبين، وإشارتاهما جزء من القيم التي نقارنها.

وتظهر الفكرة أيضًا في علاقة النصف بأساس 2. إذا كان 2^k=x، فإن(1/2)^(−k)=x. لذا يكون لوغاريتم x للأساس 1/2 هو سالب لوغاريتمه للأساس 2. مثلًا المدخل 32 يعطي 5 في أساس 2 و−5 في أساس 1/2. هذه علاقة نستنتجها مباشرة من القوة، لا مساواة بين اللوغاريتمين.

وعمومًا عندما يكون 0<b<1، اكتب c=1/b، فيكون c>1. من c^k=x نستنتج b^(−k)=x. بهذا ينقلب ناتج اللوغاريتم للأساس c عند استعمال أساسه المقلوب b. الدالة الأولى المتزايدة تعطي ترتيبًا واحدًا، وضرب مخرجاتها في−1 يفسر الترتيب المعاكس في الثانية.

في متباينة تقارن لوغاريتمين لهما الأساس نفسه بين صفر وواحد، ننتقل إلى مقارنة الحجتين مع عكس اتجاه الترتيب. أما المساواة فلا تحتاج علامة ترتيب نعكسها؛ L(A)=L(B) تقود إلى A=B داخل المجال. تمييز المساواة من المتباينة يمنع تعميم خطوة تخص رمزًا بعينه.

متباينة أولى: حد يقبل المساواة

نحل L(3x−2)≤−2. البداية من المجال:3x−2>0، أي x>2/3. نكتب−2 على صورة L(4)، لأننا حسبنا أن النصف مرفوعًا إلى−2 يعطي 4. أصبحت المقارنة بين مخرجين للدالة المتناقصة نفسها، ولذلك تعادل 3x−2≥4 داخل المجال.

نضيف 2 إلى الطرفين ثم نقسم على 3 الموجب، فنحصل على x≥2. كل هذه القيم تحقق x>2/3، لذلك لا يحتاج الناتج إلى استبعاد إضافي. لا نضم العدد 2/3 لأننا سبق أن رفضناه في المجال، ولا نجعل الحد النهائي 2 مفتوحًا لأن العلامة الأصلية تسمح بالتساوي.

عند x=2 تصبح الحجة 4، والناتج−2؛ إذن الطرفان متساويان وتقبل المتباينة هذا المدخل. وعند x=10/3 تصبح الحجة 8، والناتج−3 وهو أصغر من−2، فتقبل أيضًا. أما x=1 فحجته 1 وناتجه صفر، وصفر ليس أصغر من أو مساويًا−2، فيرفض رغم وجوده في المجال.

لو أبقيت اتجاه≤ بين الحجتين، لحصلت على 3x−2≤4 واختارت خطواتك جانبًا غير صحيح. التعويض بالمدخل 1 يكشف ذلك الخطأ مباشرة. لكن فحص مدخل أو مدخلين لا يحل محل البرهان المكافئ؛ نستخدمه لمراجعة الاتجاه والحد، بينما تعطي الخطوات مجموعة الحل الكاملة x≥2.

متباينة ثانية: مجال مشترك ونهايتان مفتوحتان

نحل L(2x−1)>L(x+3). يلزم أن تكون الحجتان موجبتين:2x−1>0 يعطي x>1/2، و x+3>0 يعطي x>−3. نأخذ الشرطين معًا، فيكون المجال المشترك x>1/2. لا يكفي تحقق واحدة منهما؛ المقارنة الأصلية تحتوي لوغاريتمين يجب أن يكونا معرفين.

لأن الدالة متناقصة، تعادل المتباينة 2x−1<x+3 داخل المجال. نطرح x ونضيف 1 فنحصل على x<4. مع شرط المجال تصبح مجموعة الحل 1/2<x<4. الطرف الأيسر مستبعد بسبب الحجة الأولى، والطرف الأيمن مستبعد بسبب عدم السماح بالمساواة في علامة>.

عند x=1 تكون الحجتان 1 و 4، والناتجان 0 و−2؛ إذن 0>−2 صحيح. عند x=4 تتساوى الحجتان في 7، وتتساوى المخرجات، فتفشل العلامة الصارمة. وعند x=1/2 تصبح الحجة الأولى صفرًا، فلا تجوز المقارنة أصلًا، حتى لو أمكن حساب الطرف الثاني.

هناك سببان مختلفان لفتح النهايتين، ويمكن أن يؤدي خلطهما إلى قبول حد المجال بعد تغيير علامة>. إذا استبدلت العلامة بـ≥، يدخل الحد 4، لكن يبقى 1/2 مستبعدًا؛ فاللوغاريتم عند حجة صفرية لم يصبح معرفًا بسبب تغيير علامة المقارنة. اكتب سبب كل نهاية بجوارها عندما تراجع الحل.

متباينة ثالثة: لا تهمل المعامل السالب داخل الحجة

نحل L(5−2x)≥1. لأن L(1/2)=1، يعادل المطلوب 5−2x≤1/2 داخل المجال. المجال نفسه هو 5−2x>0. نجمعهما في شرط واحد على الحجة:0<5−2x≤1/2. الحفاظ على الطرف الصفري يذكرنا بأن نقل المتباينة لا يزيل شرط التعريف.

من 5−2x≤1/2 نحصل على−2x≤−9/2، وبالقسمة على−2 نعكس العلامة مرة أخرى، فيكون x≥9/4. ومن المجال نحصل على x<5/2. إذن الحل 9/4≤x<5/2، أي من 2.25 المشمولة إلى 2.5 المستبعدة. العكسان حدثا لسببين: تناقص الدالة أولًا، والقسمة على معامل سالب ثانيًا.

عند x=9/4 تكون الحجة 1/2 والناتج 1، فتقبل المساواة. عند x=12/5، أي 2.4، تكون الحجة 1/5، وهي أصغر من 1/2 وموجبة؛ لذلك ناتجها أكبر من 1 فتدخل. وعند x=11/5، أي 2.2، تكون الحجة 3/5 أكبر من 1/2، فناتجها أصغر من 1 ولا تدخل.

أما x=5/2 فيجعل الحجة صفرًا ويخرج من المجال، لا بسبب قربه من عدد آخر في الفترة. يكشف هذا المثال لماذا لا تكفي عبارة «اعكس العلامة» وحدها في ورقة الحل. حدد العملية التي عكستها في كل خطوة، وتابع علامة الحجة والمجال حتى النهاية، ثم افحص الحد المشمول والحد المستبعد.

الكسور والجذور في المخرجات ليست استثناءً

تتيح الأسس الكسرية أمثلة دقيقة أخرى. بما أن(1/2)^(−1/2)=√2، يكون L(√2)=−1/2. وبما أن(1/2)^(1/2)=1/√2، يكون L(1/√2)=1/2. الحجة الأولى أكبر من 1 وناتجها سالب، والثانية بين الصفر والواحد وناتجها موجب، كما توقعنا من الأمثلة السابقة.

لم نحتج إلى تحويل√2 إلى عدد عشري لكي نقارن المدخلين أو نعرف الناتجين. إذا قربت الجذر إلى 1.414 ثم حسبت اللوغاريتم، قد يظهر جواب قريب من−0.5 بدل−0.5 بالضبط. هذا أثر تقريب المدخل، لا تغير قاعدة الدالة. احتفظ بالقيمة الجذرية عندما يتيح السؤال جوابًا دقيقًا.

وجرب أساسًا آخر أصغر من واحد، وليكن 1/3. نسمي دالته T. عند المدخل 1/9 يكون T(1/9)=2، وعند المدخل 9 يكون T(9)=−2، لأن(1/3)^2=1/9 و(1/3)^(−2)=9. الاتجاه العام بقي نفسه، لكن لا نستبدل أرقام هذه الدالة بأرقام L عند المدخل نفسه.

في المتباينة T(x+2)<−2 نكتب الطرف الأيمن T(9)، فنحصل على x+2>9، أي x>7. المجال الأصلي x>−2، وجميع قيم الحل تحقق ذلك. العدد 7 لا يدخل بسبب العلامة الصارمة، أما 8 فيعطي حجة 10 أكبر من 9 وناتجًا أصغر من−2، فيوافق النتيجة.

ولتجربة أساس كسري آخر نختار Q لأساس1/4. عند المدخل1/1024 يكون Q(1/1024)=5، لأن4^5=1024 و(1/4)^5=1/1024. لكن الدالة L تعطي للمدخل نفسه10، لأن2^10=1024. المخرجان موجبان واتجاه الدالتين واحد، ومع ذلك لا يتساويان. وعند المدخل32 نجد Q(32)=−5/2؛ فـ(1/4)^(−5/2)=4^(5/2)=32. في الأساس1/2 كانت قيمة المدخل32 هي−5. هذه المقارنة تضيف سببًا عمليًا لكتابة الأساس عند نقل نتيجة إلى سؤال آخر، بدل الاكتفاء بأن كلا السؤالين يستخدم أساسًا كسريًا.

يمكن مراجعة النسبة بين نتيجتي المثال من العلاقة1/4=(1/2)^2. إذا رفعنا1/4 إلى الأس y، فإننا نرفع1/2 إلى2y. لذلك عندما تعطي Q للمدخل نفسه القيمة y، تعطي L القيمة2y. في مدخل1/1024 كان ضعف5 هو10، وفي مدخل32 كان ضعف−5/2 هو−5. لا يمثل هذا تغيرًا في الحجة؛ المدخل بقي ثابتًا، والذي تغير هو الأساس والأس المطلوب. وهو فحص مستقل بالأعداد والقوى، وليس قاعدة تسمح باستعمال أي نسبة بين أساسين كيفما اتفق. إذا تغير الأساس إلى1/3، فلا تنقل عامل2 إليه دون علاقة مبررة بين القوى.

ما الذي لا تسمح به قاعدة المقارنة؟

عكس الترتيب بين الحجتين يحتاج لوغاريتمين للأساس نفسه. إذا قارنت L(A) بلوغاريتم B للأساس 3، فقد تغيرت الدالة في الطرف الآخر، ولا تطبق القاعدة كأن الاسمين يمثلان تحويلًا واحدًا. ارجع إلى قيم دقيقة أو طريقة تحويل مبررة مع الحفاظ على الأساس في كل طرف.

مثلًا L(8)=−3، بينما لوغاريتم 2 للأساس 2 يساوي 1. المقارنة بين الناتجين صحيحة عدديا، لكنها لا تعني أن 8 أصغر من 2 بسبب العلامة التي ظهرت بين−3 و 1. استخدام دالتين مختلفتين لا يقدم العلاقة نفسها التي أثبتناها عندما كان الطرفان من الدالة المتناقصة L.

ولا تنقل قاعدة المجموع إلى الحجتين من دون خاصية مناسبة. قول L(A)>L(B) داخل المجال لا يخبرنا أن L(A+B) يساوي مجموع المخرجين. هذا الدرس يختبر الترتيب والتحويل إلى قوى، وليس ترخيصًا لإسقاط الأقواس أو توزيع اللوغاريتم على عملية لم نبرهنها في المثال.

وإذا أعطيت حجة متغيرة يمكن أن تكون سالبة، فحل المجال أولًا بدل استعمال رسم عام للدالة. في L(5−2x) لم يكن المجال x>0؛ بل كان x<5/2. مجال الدالة الأساسية في حجتها الموجبة يحتاج ترجمة إلى المتغير الموجود في السؤال، وهذه الترجمة هي ما يحفظ صلاحية خطواتك.

راجع الحل من أربعة أسئلة واضحة

ابدأ بالسؤال عن الأساس: هل هو ثابت ويحقق الشرط بين صفر وواحد؟ ثم اسأل عن الحجة أو الحجتين: أين تكون موجبة؟ بعد ذلك حدد العملية التالية؛ هل ستستعمل تناقص الدالة، أم تضيف مقدارًا، أم تقسم على عدد سالب؟ اكتب السبب إلى جانب العلامة الجديدة بدل الاعتماد على ذاكرة شكل الحل.

السؤال الرابع عن النهايات: أي قيمة تجعل الحجة صفرًا، وأي قيمة تحقق المساواة المطلوبة؟ في أمثلتنا 2 مشمولة في الحل الأول، و 1/2 و 4 مستبعدتان في الثاني، و 9/4 مشمولة لكن 5/2 مستبعدة في الثالث. اختلاف الأسباب أهم من حفظ شكل قوس أو دائرة في رسم منفصل.

يمكنك تدريب نفسك بتغيير علامة المتباينة الأولى من≤ إلى<. يصبح الحل x>2، لأن الحجة يجب أن تكون أكبر من 4 كي يصير الناتج أصغر من−2. لا يتغير المجال x>2/3، لكن الحد 2 يخرج. عند تغيير رمز واحد أعد فحص النهاية، ولا تنقل الحل القديم بلا تعديل.

الأعداد والرسوم هنا حالات رياضية مؤلفة للشرح وليست قياسات نمو أو تناقص لظاهرة طبيعية. ما تعلمناه هو قراءة علاقة محددة بين حجة موجبة وأس لأساس أصغر من واحد. صحة المثال تأتي من القوة والمجال والتكافؤ، وتساعد الصورة على رؤية الترتيب دون أن تحل محل هذه المراجعة.