اللولب اللوغاريتمي: كيف يكون طول الدوران نحو الأصل محدودًا؟

الخلاصة السريعة

لأن أنصاف الأقطار والأطوال تتناقص هندسيًا نحو الداخل، يتقارب مجموع أطوال الدورات. في مثال r=2e^(kθ) مع k=2ln2/π، طول الذيل نحو الأصل من P=(2,0) يساوي L=√(π²+4ln²2)/ln2≈4.954017 وحدة؛ الأصل حد للمنحنى وليس نقطة يبلغها عند زاوية محدودة.

• نختار القطب O=(0,0)، والمحور الأفقي الموجب مرجعًا، والزاوية θ بالراديان عكس عقارب الساعة. نصف القطر r=2e^(kθ) موجب لكل θ حقيقية، والإحداثيان x=r cosθ وy=r sinθ.
• إضافة π/2 تضاعف r، وإضافة2π تضربه في16. عند θ=0 وθ=π/4 وθ=π/2 نجد P=(2,0)، وK=(2,2)، وQ=(0,4). تكبير الشكل بمعامل2 مع تدويرهπ/2 يعيده إلى نفسه؛ التكبير2 وحده لا يفعل ذلك.
• متجه المماس P′=r(k cosθ−sinθ,k sinθ+cosθ). زاويته مع الشعاع الخارج من O هي ψ=arctan(1/k)≈66.189513°. عند P ميله1/k، وعند Q ميله−k؛ المماسان متعامدان رغم ثبات زاويتهما مع شعاعين مختلفين.
• النمو الخطي r=2+4θ/π يوافق نقطتي البداية والنهاية في0≤θ≤π/2، لكنه يعطي في الوسط W=(3/√2,3/√2) بدل K=(2,2). اتفاق الطرفين لا يجعل الزيادات المتساوية مساوية للنمو بنسبة ثابتة.
• مقدار المشتقة r√(1+k²)، وطول الجزء بين زاويتين متزايدتين هو √(1+k²)(r2−r1)/k. طول القوس من P إلى Q يساوي L نفسه؛ هذه مساواة تخص فرق نصفَي القطر2 في المثال، وليست قاعدة لكل قوس. إلى الخارج يزداد طول المنحنى بلا حد.
• عندما θ→−∞ يصبح r→0 مع عدد غير محدود من الدورات. طول الجزء من−Nπ/2 إلى0 هو L(1−2^(−N)) ويقترب من L. لا توجد قيمة محدودة تعطي O، ولا يستقر عنده خط مماس واحد؛ θ زاوية وليست زمن وصول.

ثبت المعادلة ومعنى الزاوية

المعادلة القطبية المرجعية للولب اللوغاريتمي هي r=a e^(bθ). [1] نختار a=2 ونسمي معامل النمو k=2ln2/π، وهو موجب ويساوي تقريبًا0.441271. الرمز ln يعني اللوغاريتم الطبيعي؛ لا يمثل k زاوية المماس.

في هذا المثال r=2e^(kθ)، والزاوية θ عدد حقيقي بالراديان. يبدأ مرجع الزاوية من المحور الأفقي الموجب، ويزداد عكس عقارب الساعة. القطب O=(0,0) هو مركز القياس، وليس نقطة نفترض مقدمًا أنها تنتمي إلى المسار.

نستخدم مصطلحات الإحداثيات القطبية والقطب والمحور القطبي لوصف الموضع. يحدد r المسافة إلى O، وتحدد θ اتجاه الشعاع. نعمل في مستوى ذي محورين؛ لا نحتاج بعدًا ثالثًا لأن الرسم يبدو ملتفًا.

بالتحويل نحصل على x=2e^(kθ)cosθ وy=2e^(kθ)sinθ. مربع البعد عن O هو x²+y²=4e^(2kθ)، فيعيد نصف القطر الموجب نفسه. لا نعامل r إحداثيًا أفقيًا أو θ إحداثيًا رأسيًا.

اختيار وحدة طول واحدة يجعل الأرقام2 و4 أطوالًا بتلك الوحدة. الزاوية معامل للتتبع، وليست زمنًا. الصورة الرئيسية تعرض−2π≤θ≤π/2 فقط، ولا يمكن لصورة محدودة أن تعرض جميع دورات اللولب.

تضاعف نسبي ودوران مع التكبير

من المعادلة، نسبة نصفَي القطر عند زاويتين يفصل بينهما Δθ هي e^(kΔθ). عندما Δθ=π/2 نحصل على e^(ln2)=2؛ كل ربع دورة موجب يضاعف المسافة إلى الأصل. وفي دورة كاملة تصبح النسبة2⁴=16.

عند θ=−π/2 تكون A=(0,−1)، وعند θ=0 تكون P=(2,0). في منتصف الربع التالي θ=π/4 نجد r=2√2، فتكون K=(2,2). وعند θ=π/2 نجد Q=(0,4). الجدول يجمع هذه النقاط مع O مرجع القياس.

الدورانπ/2 يرسل المتجه(x,y) إلى(−y,x)، ثم التكبير2 يعطي(−2y,2x). بالتعويض في معادلة المنحنى نجد أن هذه النتيجة هي موضعه عند θ+π/2. لذلك يحمل التحويل المركب المنحنى كله إلى نفسه.

أما التكبير2 وحده فيرسل P إلى U=(4,0). نقاط المنحنى على الاتجاه الأفقي الموجب تأتي عند θ=2πn، حيث n عدد صحيح، وأنصاف أقطارها2×16^n. تظهر القيم1/8 و2 و32؛ لا تقع4 بينها بوصفها قيمة من هذه المتتالية.

هكذا لا يكفي قول إن اللولب يشبه نفسه لتقرير أن أي تكبير بلا دوران يطابق مجموعة نقاطه. في تحويلنا المحدد، تكبير2 يحتاج إلى دورانπ/2 معه. اشتقاق الإحداثيات يحدد العملية بدل الاعتماد على تشابه صورتين.

لا يعيد التتبع نقطة سابقة بعد دورة. نصف القطر يزداد بدقة مع θ لأن k موجب؛ لو أعطت زاويتان النقطة نفسها لكان نصفا القطر متساويين، ثم فرضت الدالة الأسية تساوي الزاويتين أيضًا.

زاوية ثابتة مع شعاع متغير

يحافظ اللولب على زاوية ثابتة بين المماس والشعاع من القطب. [2] نحدد الاتجاهين هنا: الشعاع يتجه إلى الخارج، والمماس يتبع ازدياد θ. بهذه الحدود تكون الزاوية حادة في المثال ذي النمو الموجب.

نشتق الموضع بالنسبة إلى θ فنحصل على P′=r(k cosθ−sinθ,k sinθ+cosθ). في القاعدة المحلية نأخذ e=(cosθ,sinθ) شعاع وحدة، وn=(−sinθ,cosθ) عموديًا عليه، فيصبح P′=kr e+r n.

نسبة المركبة العمودية إلى الشعاعية هي r/(kr)=1/k. لذلك ψ=arctan(1/k)≈66.189513°. لا تتغير هذه النسبة مع θ، رغم تغير r واتجاه كل من e وn في المحاور الثابتة.

عند P=(2,0) تكون المشتقة(2k,2)، وميل المماس1/k≈2.266180. يمكن كتابة خطه y=(x−2)/k. الشعاع OP أفقي؛ المماس ليس أفقيًا ولا عموديًا عليه في هذا المثال.

عند Q=(0,4) تكون المشتقة(−4,4k)، فيكون ميل المماس−k≈−0.441271 وخطه y=4−kx. حاصل ضرب الميلين−1؛ إذن خطا المماس عند P وQ متعامدان.

لا تناقض بين هذا التعامد وثبات ψ. شعاع OQ نفسه ناتج من تدوير OP بربع دورة؛ ويدور اتجاه المماس بالمقدار نفسه. ثبات الزاوية محلي بالنسبة إلى الشعاع، وليس ثبات اتجاه جميع المماسات على الصفحة.

الطرفان لا يكشفان قانون النمو

نبني مقارنة على المجال0≤θ≤π/2، باستبدال النمو الأسي بنمو خطي r=2+4θ/π. عند0 يعطي2، وعندπ/2 يعطي4؛ لذلك يمر بالنقطتين P وQ نفسيهما. لا نجعل هذه الصيغة وصفًا لذيل يمتد إلى−∞.

في المنتصف θ=π/4 يعطي القانون الخطي نصف قطر3، فتكون W=(3/√2,3/√2)، بينما يعطي اللولب الأسي نصف قطر2√2 وK=(2,2). نصف القطر3 متوسط حسابي للطرفين2 و4، و2√2 متوسطهما الهندسي.

الأعداد1 و2 و4 و8 في أرباع متتابعة تتغير بعامل2، لكن زياداتها1 ثم2 ثم4 ليست ثابتة. القانون الخطي يستخدم زيادة ثابتة مع الزاوية؛ لهذا يمكن أن يتفق الطرفان وتختلف النقاط بينهما.

ولفحص W على اللولب الكامل، اتجاههاπ/4+2πn، وأنصاف الأقطار المتاحة على ذلك الشعاع هي2√2×16^n. عند n=0 تقل القيمة عن3، وعند n≥1 تزيد عن3، وعند n≤−1 تصغر أكثر؛ لا ينتج نصف قطر3.

يعرض الرسم الداخلي القوسين على الربع الأول فقط، بمقياس متساوٍ للمحورين. الأزرق للنمو الأسي، والأحمر للخطي. يشتركان في P وQ، بينما تبرز K وW على الشعاع نفسه؛ لا نعتمد على حجم الفجوة بالبكسلات لإثبات الاختلاف.

احسب الطول من المشتقة

لأن e وn متعامدان وطول كل منهما1، فإن مقدار P′ يساوي r√(1+k²). هذا مقدار تغير الطول بالنسبة إلى الزاوية، وليس سرعة بوحدة طول لكل ثانية. المشتقة غير صفرية عند كل θ محدودة لأن r موجب.

بين θ1 وθ2 مع θ1＜θ2، نكامل2e^(kθ)√(1+k²). بما أن k موجب، يكون الناتج √(1+k²)(r2−r1)/k، حيث r1 وr2 نصفا القطر عند الطرفين. الفرق موجب في هذا الاتجاه.

من P إلى Q يتغير نصف القطر من2 إلى4، فيكون الطول L=2√(1+k²)/k. بعد وضع k=2ln2/π تصبح L=√(π²+4ln²2)/ln2≈4.954017 وحدة طول. لا يمثل هذا العدد طول الخط المستقيم بين الطرفين.

طول القطعة PQ هو√20≈4.472136 وحدة، أصغر من طول القوس. الشعاع OP طوله2، والشعاع OQ طوله4. لكل كمية مسار وطرفان مختلفان؛ اتفاق وحدات القياس لا يسمح بتبديل تلك المسارات.

للطرف الداخلي، نبدأ عند θ=−Nπ/2، حيث N عدد صحيح موجب ونصف القطر2×2^(−N). طول الجزء إلى P يصبح L(1−2^(−N)). عند N=1 نجد L/2، وعند N=2 نجد3L/4؛ كل ربع داخلي يضيف أقل من سابقه.

عندما N→∞ يقترب طول الجزء من L. هذا هو معنى وجود عدد غير محدود من الدورات بطول مجموع محدود نحو القطب، الموافق للخاصية المرجعية. [2] ليست النتيجة أن طول المنحنى كله محدود؛ إلى الخارج يزداد r والطول بلا حد.

الأصل حد وليس نقطة وصول

عندما θ→−∞ تتجه e^(kθ) إلى صفر، فيؤول كل من x وy إلى صفر. لكن الدالة الأسية موجبة عند كل عدد حقيقي محدود؛ لا توجد θ صالحة تعطي r=0. نضم O إلى إغلاق المنحنى إذا أردنا وصف حدّه.

فرق الزوايا من−Nπ/2 إلى0 يزداد بلا حد، وعدد الدورات N/4 يزداد معه. في الوقت نفسه يقترب طول هذه الأجزاء من L. التقارب يتعلق بمجموع الأطوال، ولا يحول−∞ إلى قيمة يمكن التعويض بها في المعادلة.

ولا يستقر خط مماس واحد عند O. خذ الزوايا−2πn وزواياπ/2−2πn عندما n→∞: في السلسلتين تقترب النقاط من الأصل، لكن اتجاهي المماس يختلفان بربع دورة ويظلان كذلك. لذلك لا نحول الأصل إلى رأس مدبب ذي مماس حدي واحد.

مساواة طول الذيل إلى P بطول القوس P إلى Q جاءت لأن فرق نصفَي القطر2 في الحسابين. لو اخترنا طرفًا خارجيًا آخر تغير طول القوس؛ لا يساوي كل قوس طول الذيل السابق له.

الرسم الرئيسي يبدأ عند نصف قطر1/8 الموافق θ=−2π وينتهي عند Q. الباقي نحو O أصغر مما يسمح عرضه بالكامل في الصورة. علامة O مرجع وليست نقطة زرقاء من التتبع، والقطع عند حد الرسم لا يعني نهاية اللولب.

لم نحدد علاقة بين θ والزمن؛ لذلك لا نستنتج وقت وصول أو سرعة حركة فعلية. المثال يشرح تقارب طول هندسي عبر دوران غير محدود، مع فصل نقطة الحد عن النقاط التي تنتجها قيم المعامل المحدودة.