النيفرويد: هل كل حل لشرط الغلاف يقع على المنحنى؟

الخلاصة السريعة

لا؛ في عائلة المركز C=(2cos t,2sin t) ونصف القطر 2|sin t|، يعطي شرط الغلاف P=(2c+4cs²,4s³) وT=(2c,0)، حيث c=cos t وs=sin t. الفرع P هو النيفرويد؛ الفرع T يتتبع قطرًا لا ينتمي إلى النيفرويد إلا عند طرفيه.

• نثبت دائرة مرجعية نصف قطرها2 ومركزها O=(0,0). لكل زاوية t، مركز دائرة العائلة C=(2c,2s) ونصف قطرها2|s|؛ معادلتها E=x²+y²−4xc−4ys+4c²=0. عند s=0 تنحل إلى نقطة، فلا نعاملها دائرة ذات مماس عادي.
• نثبت x وy عند الاشتقاق: E_t=4(xs−yc−2cs). حل E=0 وE_t=0 يعطي Q=T+λ(c,s)، ثم λ(λ−4s²)=0؛ لذلك توجد نقطتا تماس مختلفتان عندما s≠0، لا نقطة واحدة.
• عند t=π/6 تكون C=(√3,1)، ونصف القطر1؛ P=(3√3/2,1/2) وT=(√3,0). كلاهما على الدائرة ويحقق الشرطين؛ مماس P هو √3x−y=4، ومماس T هو y=0.
• النقطة N=(√3+1,1) على دائرة المثال أيضًا، لكنها تعطي E_t(N)=2−2√3≠0. الانتماء إلى دائرة واحدة لا يكفي للانتماء إلى أحد فرعي الغلاف.
• الفرع P يوافق x=3cos t−cos3t وy=3sin t−sin3t للنيفرويد. [1][2] نفرقه عن T بالمعادلة F=(x²+y²−4)³−108y²: عند المثال F(P)=0 وF(T)=−1؛ الأصل على القطر لكنه يعطي F(O)=−64.
• يمر P بالرأسين A=(2,0) وB=(−2,0)، حيث تنعدم المشتقة وتكون دائرة العائلة نقطة. المماس الحدي y=0 عندهما؛ الرأسان صالحان على المنحنى. النصف العلوي يحتاج0≤t≤π، والمنحنى الكامل0≤t≤2π.

حدد عائلة الدوائر قبل البحث عن غلافها

نأخذ دائرة مرجعية مركزها O=(0,0) ونصف قطرها2، ونختار قطرها الأفقي. بناء دوائر مراكزها على هذه الدائرة وتمس ذلك القطر يعطي غلافًا من نوع النيفرويد. [1]

نكتب c=cos t وs=sin t، حيث t زاوية موضع المركز بالراديان عكس عقارب الساعة. يكون C=(2c,2s). ليس t زمنًا، ولا نقيس حركة آلة أو سرعة دوران فعلية.

المسافة العمودية من C إلى المحور الأفقي هي2|s|؛ نختارها نصف قطر دائرة العائلة. لذا تختلف أنصاف الأقطار مع الوضع، بخلاف عجلة ثابتة نصف القطر تتدحرج على جدار.

معادلة الدائرة هي (x−2c)²+(y−2s)²=4s². بعد التوسيع نكتب E=x²+y²−4xc−4ys+4c²، وتكون الدائرة هي مجموعة E=0.

عندما0＜t＜π يكون المركز فوق القطر ونصف القطر موجبًا. يلامس المحيط المحور عند T=(2c,0). عند t=0 أوt=π ينعدم نصف القطر، فتكون المعادلة نقطة واحدة عند طرف القطر.

الصورة الرئيسية تعرض النيفرويد الكامل بالأزرق، والقطر بالأصفر، وثلاث دوائر فقط من العائلة فوقه، مع دائرة المراكز المرجعية الرمادية. هذه عينة من مجموعة مستمرة؛ لا نعد عدد الدوائر المرسومة برهانًا على الغلاف.

اشترط التماس مع العائلة لا المرور بدائرة واحدة

نبحث عن نقاط تحقق E=0 ومعها E_t=0. الرمز E_t يعني المشتقة الجزئية بالنسبة إلى t، مع تثبيت x وy أثناء الاشتقاق. تتغير معاملات العائلة، لا إحداثيات النقطة في هذه الخطوة.

من اشتقاق الصيغة الموسعة نحصل على E_t=4(xs−yc−2cs). شرط انعدامها هو xs−yc=2cs؛ هذا مستقيم يمر بـT=(2c,0)، واتجاهه(c,s).

نكتب نقطة هذا المستقيم Q=T+λ(c,s). إذن x=2c+λc وy=λs. نعوض في الدائرة: λ²c²+(λ−2)²s²=4s². باستخدام c²+s²=1 تتبسط إلى λ(λ−4s²)=0.

الجذر λ=0 يعيد T=(2c,0). الجذر λ=4s² يعطي P=(2c+4cs²,4s³). إذا s≠0 فالفرق بين الجذرين موجب، والنقطتان مختلفتان؛ حل الشرطين لم يختر المنحنى الخارجي وحده.

لم نقسم على c، ولذلك يشمل الحساب t=π/2 أيضًا. هناك يصبح المستقيم x=0، وتكون نقطتاه T=(0,0) وP=(0,4). لا نحذف هذا الوضع بسبب صفر جيب التمام.

للتأكد من التماس نراجع اتجاه المشتقة عند كل فرع. عند T تكون T′=(−2s,0)، عمودية على نصف القطر CT=(0,−2s) في الوضع المنتظم. عند P تكون P′=6s(cos2t,sin2t)، وحاصل ضربها القياسي مع P−C صفر.

الفحص الأخير يربط الشرط الجبري بالمماس الحقيقي للفرعين. مجرد اختيار أي نقطة على المحيط يحقق E=0، لكنه لا يضمن انعدام E_t ولا تطابق اتجاهي المماسين.

دائرة واحدة ونقطتا تماس محسوبتان

نختار t=π/6، فيكون c=√3/2 وs=1/2. تصبح C=(√3,1)، ونصف القطر1، ومعادلة الدائرة (x−√3)²+(y−1)²=1.

شرط المشتقة يعطي x−√3y=√3. الجذران هما λ=0 وλ=1؛ لذلك T=(√3,0) وP=(3√3/2,1/2). كلاهما على مستقيم الشرط، لكنهما ليسا طرفي قطر الدائرة الصغيرة.

من C إلى T المتجه(0,−1)، وطوله1. ومن C إلى P المتجه(√3/2,−1/2)، ومربع طوله3/4+1/4=1. هذان فحصان مستقلان لانتماء النقطتين إلى دائرة المثال.

عند P تكون المشتقة(3/2,3√3/2)، فميل المماس√3. معادلته √3x−y=4 تمر بالنقطة، لأن9/2−1/2=4. متجهها العمودي(√3,−1) يوازي CP.

عند T يكون نصف القطر رأسيًا والمماس أفقيًا y=0، وهو القطر المشترك الذي تمسه جميع دوائر العائلة المنتظمة. لا يساوي مماس P، ولا نجمع الخطين بوصفهما مماسًا واحدًا.

الجدول يجمع المركز ونقطتي التماس والأصل والنقطة N التي سنفحصها. الصورة الداخلية تكبر دائرة المثال وجزءًا محدودًا من الفرع P، وتظهر مماسه الأخضر والقطر الأصفر؛ ليس الأزرق فيها المنحنى الكامل.

نقطة على المحيط لا تجتاز شرط الغلاف

نأخذ أقصى نقطة إلى يمين دائرة المثال: N=(√3+1,1). الفرق N−C=(1,0)، لذا CN=1، وتحقق N معادلة الدائرة كما تحققها P وT.

لكن عند t=π/6 تكون E_t=2x−2√3y−2√3. بالتعويض بـN نجد E_t(N)=2−2√3، وهي قيمة غير صفرية. إذن N ليست نقطة من حل الشرطين في هذا الوضع.

هذا الرفض يخص الربط بين الدائرة الحالية وفرعيها المحسوبين. ولرفض انتماء N إلى النيفرويد في أي وضع، سنستخدم أيضًا معادلة المنحنى العامة في القسم التالي؛ لا نخلط الاختبارين.

الصورة الداخلية ترسم CN بالأحمر، مع أنه نصف قطر صحيح طوله1. اللون يوضح نتيجة اختبار الغلاف، لا خطأ في حساب المسافة أو ادعاء أن النقطة خارج الدائرة.

عند T وP تختار الدائرة نقطتي تماس للفرعين؛ عند N يوجد مماس للدائرة نفسها لكنه لا يجعلها نقطة تماس مع غلاف هذه العائلة. من الضروري تسمية الشيء الذي نحسب مماسه.

القطر فرع للتلامس لكنه ليس النيفرويد

بهويات الزاوية الثلاثية تتساوى صيغة P مع x=3cos t−cos3t وy=3sin t−sin3t، وهي معادلات النيفرويد المرجعية عند معاملها1. [2] الاختيار جاء من الجذر الثاني، لا من تجاهل الجذر الأول.

تعطي المعادلة الديكارتية للنيفرويد في هذا المقياس (x²+y²−4)³=108y². [1] نسمي الفرق F=(x²+y²−4)³−108y²، ونراجعه بالتعويض في نقاط المثال.

عند P نجد x²+y²=7، فيكون الطرفان3³=27 و108×1/4=27، لذلك F(P)=0. أما T=(√3,0) فتعطي F(T)=−1؛ اجتياز E=0 وE_t=0 لم يجعلها نقطة من النيفرويد.

بصورة عامة يعطي T=(2c,0) القيمة F(T)=−64s⁶. هي سالبة عندما s≠0، ولا تنعدم إلا عند طرفي القطر. لذلك تتشارك مجموعة النيفرويد والقطر الطرفين فقط، رغم كون القطر فرعًا صحيحًا للتلامس.

الأصل O=(0,0) مثال آخر: عند t=π/2 هو T، ويمر به فرع القطر. لكنه يعطي F(O)=−64، فيُرفض من النيفرويد. كذلك OP²=10−6cos2t على الفرع P، فيكون2≤OP≤4.

وللنقطة N ينتج F(N)=−71+30√3، نحو−19.038476، وهي غير صفرية. بذلك لا تقع على النيفرويد في وضع آخر أيضًا؛ اختبار الدائرة وحده كان أضعف من هذا الاستنتاج.

عند تسمية النيفرويد غلافًا لهذه الدوائر نقصد الفرع الخارجي المنحني. أما حل شرطَي العائلة كاملًا فيحتفظ أيضًا بفرع القطر المشترك. تحديد الفرع جزء من الجواب؛ لا نحذف حلاً صحيحًا ثم نزعم أنه لم يظهر.

الرأسان نقطتان صحيحتان مع دائرة منعدمة

عند t=0 يكون P=T=A=(2,0)، وعند t=π يكون P=T=B=(−2,0). ينعدم نصف قطر دائرة العائلة في الوضعين ويتطابق الجذران λ=0؛ لذلك لا نستخدم فيهما حجة مماس دائرة ذات نصف قطر موجب.

على الفرع P يكون مقدار المشتقة6|sin t|، فلا تنعدم ضمن دورة إلا عند الرأسين، مع إعادة A عند2π. قرب t=0 نجد x≈2+3t² وy≈4t³؛ المماس الحدي هو y=0، رغم أن القسمة على المشتقتين مباشرة تعطي0/0.

النقطة B صورة A تحت عكس الإحداثيين معًا، فيكون مماسها الحدي أفقيًا أيضًا. الرأس المدبب لا يحذف من المنحنى؛ نميّز وجوده الصحيح عن عدم انتظام المعامل عنده.

لـ0≤t≤π نجد y=4sin³t≥0، فيتتبع P النصف العلوي من A إلى B. وتغطي π≤t≤2π النصف السفلي وتعيد A. عند π/2 تكون K=(0,4)، وعند3π/2 تكون L=(0,−4).

في كل نصف، تحدد قيمة y مقدار sin t، ثم تحدد إشارة x إشارة cos t لأن x=2c(1+2s²). لذلك لا نعيد نقطة داخلية من المسار في النصف نفسه. النصفان لا يتقاطعان إلا عند الرأسين على y=0.

أما T فيقطع القطر من2 إلى−2 خلال النصف الأول، ثم يعود عليه في النصف الثاني. اختلاف طريقة التتبع سبب إضافي لعدم جمعه مع النيفرويد بوصفهما منحنى واحدًا.

نستخدم مقياسًا متساويًا للمحورين في الصورتين. دائرة المراكز مرجع، ودوائر العائلة ليست عجلات ثابتة؛ الأزرق في الرئيسية كامل وفي الداخلية جزء محدد. يتوافق التفريق في الرسم مع المعادلات والشروط الحدية.