الوتر المشترك لدائرتين: اطرح المعادلتين ثم افحص التقاطع

الطرح يحدد مستقيم النقاط المحتملة

الدائرتان المختلفتان لا تشتركان في أكثر من نقطتين. [1]

نأخذ دائرة مركزها و=(0،0) ونصف قطرها5 وحدات، وأخرى مركزها ن=(6،0) ونصف قطرها4 وحدات. نبحث عن نقاط على المحيطين معًا، لا عن جميع نقاط المساحة التي قد يتداخل فيها القرصان.

المعادلتان س²+ص²=25 و(س−6)²+ص²=16. نفك الثانية: س²−12س+36+ص²=16. نطرح الأولى من الثانية، فنحصل على−12س+36=−9، أي12س=45 وس=15/4.

كل نقطة مشتركة يجب أن تقع على س=15/4. لكن نقطة مثل(15/4،0) تحقق هذا المستقيم ولا تحقق الدائرة الأولى: مربع بعدها225/16 لا25. إذن المستقيم شرط لازم، وليس حلًا كاملًا.

لأي نقطة على المستقيم، مقدار س²+ص²−25 يساوي مقدار(س−6)²+ص²−16؛ فرق المقدارين صفر. لهذا يظل المستقيم موجودًا جبريًا حتى عندما لا يصبح المقداران صفرًا. لا نسميه وترًا مشتركًا قبل إيجاد طرفين على الدائرتين.

استخرج طرفي الوتر وافحصهما في الدائرتين

نعوض س=15/4 في الأولى: ص²=25−225/16=175/16. إذن ص=±√175/4=±5√7/4، فنحصل على أ وب المذكورتين.

في الدائرة الأولى، مربع البعد لأي منهما225/16+175/16=400/16=25. وفي الثانية، س−6=−9/4، فيكون المجموع81/16+175/16=256/16=16. كلا التعويضين مطلوب؛ لا نكتفي بأن النقطة تقع على مستقيم الطرح.

طول أ ب هو فرق الصادات الموجبة والسالبة:5√7/4−(−5√7/4)=5√7/2≈6.614 وحدة. صاد كل طرف≈±3.307. هذه قيم مقربة لثلاث منازل؛ الجذر هو القيمة الدقيقة.

منتصف الوتر م=(15/4،0)، فيقع على خط المركزين ص=0. الوتر رأسي وخط المركزين أفقي؛ لذلك هما متعامدان في نظامنا الإحداثي.

منتصف و ن هو(3،0)، ولا يطابق م=(3.75،0). اختلاف نصفَي القطر هنا يمنع افتراض أن الوتر يمر بمنتصف المركزين. بعد م عن و3.75 وعن ن2.25؛ مربعا هذين البعدين مضافًا إليهما مربع نصف الوتر يعيدان25 و16.

مستقيم بلا تقاطع: افحص إشارة ص²

نضع المركزين(0،0) و(d،0)، ونصفَي القطر R وr، مع d>0 وR>0 وr>0. المعادلتان س²+ص²=R² و(س−d)²+ص²=r². الطرح يعطي2dس=d²+R²−r².

إذن س=(d²+R²−r²)/(2d)، ثم ص²=R²−س². إذا كان المربع موجبًا فهناك جذران مختلفان، وإذا صفرًا فص=0 وحدها، وإذا سالبًا فلا صاد حقيقية. وبالتعويض تصبح كل نقطة مستخرجة حلًا للمعادلتين.

للمثال R=5 وr=4، نغير بعد المركزين فقط. عند d=10 نجد س=(100+25−16)/20=109/20=5.45، وص²=25−29.7025=−4.7025. يظل س=5.45 مستقيمًا، لكنه لا يقطع أيًا من الدائرتين في نقطة مشتركة.

عند d=0.5، نجد س=(0.25+25−16)/1=9.25، وص²=25−85.5625=−60.5625. الصغيرة داخل الكبيرة دون تماس: أبعد نقطة منها عن و تبعد0.5+4=4.5، وهو أقل من5. وجود قرص داخل آخر لا يعني وجود نقاط على المحيطين معًا.

بتوحيد المقامات والتحليل نجد4d²ص²=((R+r)²−d²)(d²−(R−r)²). العاملان موجبان معًا عندما |R−r|<d<R+r؛ عند أحد الحدين يصبح الناتج صفرًا.

خارج هذا المجال أحد العاملين موجب والآخر سالب، فتكون ص² سالبة. لا يمكن أن يكونا سالبين معًا لأن R+r>|R−r| لنصفَي قطر موجبين. هذه الحجة تثبت التصنيف من المعادلات، دون الاعتماد على شكل الرسم.

التماس واتحاد المركزين حالتان تحتاجان عناية

في التماس الداخلي يقع التماس على امتداد خط المركزين، وفي الخارجي على خطهما. [2][3]

لنصفَي القطر5 و4، الحد الداخلي d=1. ينتج س=(1+25−16)/2=5 وص²=0؛ النقطة(5،0) تبعد5 عن و و4 عن ن=(1،0). الصغيرة داخل الكبيرة وتمسها عند هذه النقطة.

الحد الخارجي d=9. ينتج س=(81+25−16)/18=5 وص²=0؛ النقطة(5،0) تبعد5 عن و و4 عن ن=(9،0)، وتقع بين المركزين. لا نعد ص=+0 وص=−0 نقطتين مختلفتين.

في حالتي التماس، طول القطعة بين حلين متطابقين صفر. المستقيم س=5 موجود لكنه لا يحمل طرفين مختلفين لوتر مشترك؛ المقارنة مع حالة d=6 ذات الطول6.614 تمنع الخلط.

إذا d=0، تصبح الدائرتان س²+ص²=R² وس²+ص²=r². لنصفَي القطر5 و4، طرحهما يطلب0=−9، وهو مستحيل. لا يوجد مستقيم ناتج ولا نقاط مشتركة؛ القسمة على صفر ليست طريقة لمعالجة ذلك.

إذا d=0 وR=r=5، فالمعادلتان متطابقتان، وكل نقاط س²+ص²=25 مشتركة. هذا شكل واحد، فلا يخالف حد النقطتين للدائرتين المختلفتين. اتحاد المركزين وحده لا يعني التطابق؛ لا بد من مقارنة نصفَي القطر.

للمركزين المختلفين غير الواقعين على محور أفقي في المسألة الأصلية، يمكن نقل الأصل إلى الأول وتدوير المحاور نحو الثاني، مع استعمال وحدة ومقياس متساويين. عندئذ d طول موجب وتبقى أطوال القطع وعدد نقاط التقاطع كما هي؛ لا يشترط أن يكون خط المركزين أفقيًا في الورقة.