تحديد بؤرتي القطع الناقص: افتح نصف الأكبر من طرف الأصغر

انقل نصف الطول من الموضع الصحيح

ابدأ بقطع ناقص تظهر محاوره. خذ الفتحة من المركز إلى طرف الأكبر، ثم انقل سن الفرجار إلى طرف الأصغر دون تغيير الفتحة. ارسم قوسين عبر الأكبر لتحديد البؤرتين. [1]

نختار قطعًا ناقصًا مركزه و=(0،0)، وطول محوره الأكبر 26 سم والأصغر 10 سم. نصفا الطول هما 13 و5. معادلة المثال س²/169+ص²/25=1؛ طرف الأكبر الأيمن (13،0)، وطرف الأصغر العلوي ج=(0،5).

الطول الكامل يقطع الشكل من طرف إلى المقابل، أما نصفه فيبدأ من المركز. لذلك الفتحة المطلوبة 13، لا 26. لا نقيس من ج إلى طرف الأكبر لتحديدها؛ ننقل أصلًا المسافة من و إلى طرف الأكبر.

لماذا يعطينا القوس البؤرتين؟

في القطع الناقص، مجموع بُعدي نقطة المحيط عن البؤرتين يساوي طول المحور الأكبر. عند طرف الأصغر تتساوى المسافتان؛ كل واحدة نصف الأكبر. [2]

في مثالنا، دائرة القوس مركزها ج=(0،5) ونصف قطرها 13: س²+(ص−5)²=169. على المحور الأكبر ص=0 نجد س²+25=169، أي س²=144؛ لذلك ف₁=(−12،0) وف₂=(12،0).

المثلث و ج ف₂ قائم عند و؛ ضلعاه 5 و12 ووتره 13. المسافة من و إلى كل بؤرة 12، بينما ف₁ ف₂=24 سم. الخلط بين المسافة إلى المركز والفصل الكامل يغيّر موضعي التثبيت إذا استعملنا البؤرتين لاحقًا.

عامّةً، إذا كان نصف الأكبر a ونصف الأصغر b، يحقق تقاطع القوس مع الأكبر س²+b²=a²؛ فيكون بعد البؤرة عن المركز c=√(a²−b²)، مع a>b>0. هذا الحساب يشرح موضع التقاطع ولا يستبدل شرط أن الشكل المعطى قطع ناقص وأن المحورين معروفان. [2]

راجع نقطة أخرى واكشف الفتحة الخاطئة

للنقطة ن=(7.8،4) نحسب 60.84/169+16/25=0.36+0.64=1. فهي على القطع الناقص في المثال. بعدها عن ف₂=(12،0) هو √(4.2²+4²)=√33.64=5.8 سم، وعن ف₁=(−12،0) هو √(19.8²+4²)=√408.04=20.2 سم.

نجد 5.8+20.2=26، كما وجدنا 13+13=26 عند ج. لا يشترط تساوي البُعدين عند كل نقطة؛ التساوي في ج جاء من موضعها على محور التماثل الأصغر. المثال الجديد يفصل مجموع المسافتين عن كل واحدة منهما.

لو أبقينا الفتحة 13 لكن وضعنا سن الفرجار عند و، لقطع القوس الأكبر عند (±13،0). هاتان نقطتا نهاية الأكبر، بينما البؤرتان (±12،0). وعند ج يصبح بعدها عن كل نقطة خاطئة √(13²+5²)=√194، ومجموعهما 2√194≈27.857 سم، لا 26.

ولو وضعنا السن صحيحًا عند ج لكن فتحنا كامل الأكبر 26، لكان س²+25=676؛ س²=651، ومنه |س|=√651≈25.515، أكبر من 13. تقع العلامتان خارج طرفَي القطع الناقص في المثال. الفتحة الصحيحة مع المركز الخاطئ، والمركز الصحيح مع الفتحة الخاطئة، خطآن مختلفان.

اتبع اتجاه الأكبر ولو لم يكن أفقيًا

تقع البؤرتان على المحور الأكبر بالتناظر حول المركز؛ في الدائرة تتحدان في المركز. [3]

نقدم نسخة مدوّرة من المثال نفسه. المركز م=(3،−2)، واتجاه وحدة الأكبر ع=(3/5،4/5)، واتجاه الأصغر ت=(−4/5،3/5). مربعا طولهما 1، وضربهما الداخلي صفر. البؤرتان م±12ع، أي (10.2،7.6) و(−4.2،−11.6).

طرف الأصغر المختار ج′=م+5ت=(−1،1). من ج′ إلى البؤرة الأولى يكون فرق الإحداثيات (11.2،6.6)، ومربع طوله 125.44+43.56=169. وإلى الثانية الفرق (−3.2،−12.6)، ومربع الطول 10.24+158.76=169. إذن دائرة مركزها ج′ بفتحة 13 تعطي البؤرتين على الأكبر المائل أيضًا.

لو تساوى النصفان عند 5 سم، لصار c=√(25−25)=0؛ من طرف الأصغر (0،5)، دائرة نصف قطرها 5 تمس خط الأكبر عند المركز وحده. ليست هناك بؤرتان متباعدتان. وإذا أعطيت 5 و13 فالأكبر هو 13؛ لا تطرح 13² من 5² ثم تفسر الجذر السالب كبُعد.

يلزم أن يكون الشكل قطعًا ناقصًا ومحوراه محددين؛ مجرد هيئة بيضاوية لا تثبت ذلك. نفترض أنصاف أطوال موجبة ومقياسًا واحدًا للاتجاهين. المخططات مبنية على إحداثيات مستقلة؛ لا تثبت دقة رسم يدوي أو مواضع مأخوذة من صورة ممدودة.