تسارع نقطة تماس العجلة: لماذا لا يساوي صفرًا؟

تسارع نقطة تماس العجلة يتجه إلى أعلى في نموذجنا، رغم سرعتها الصفرية. [2]

الخلاصة السريعة

السرعة قيمة لحظية؛ التسارع يصف تغيرها مع الزمن للنقطة المادية نفسها. [4]

عجلة دائرية صلبة نصف قطرها R>0 بالمتر، تتدحرج يمينًا دون انزلاق على أرض أفقية ثابتة. سرعة المركز V>0 بالمتر/ثانية ثابتة. المحور x يمينًا وy إلى أعلى؛ نهمل تشوه الإطار، ولا نحسب قوى سيارة حقيقية. [1]
نتتبع نقطة مادية واحدة P بدأت عند التماس في t=0. الدوران مع عقارب الساعة: θ=Vt/R بالراديان، وω=V/R بالراديان/ثانية. موضعها P=(R(θ−sinθ),R(1−cosθ))؛ الزمن t بالثانية. [3]
بالاشتقاق الزمني: vP=(V(1−cosθ),Vsinθ) بوحدة m/s، وaP=(V²sinθ/R,V²cosθ/R) بوحدة m/s². عند التماس θ=0: السرعة صفر، والتسارع إلى أعلى بمقدار V²/R=Rω². تسارع المركز والتسارع الزاوي صفر في هذا النموذج. [2][4]
مثال مؤلف: R=0.4m,V=2m/s,ω=5rad/s. عند التماس vP=0,aP=(0,10)m/s². بعد نصف دورة t=π/5≈0.6283s تصبح النقطة أعلى العجلة: vP=(4,0)m/s,aP=(0,−10)m/s². مقدار تسارعها ثابت 10m/s²، واتجاهه يتغير. [3]
نقطة الأرض الثابتة سرعتها وتسارعها صفر. أما موضع التماس الحالي T=(Vt,0) فمشتقته (V,0)؛ إنه يختار نقاطًا مادية مختلفة. لا نشتق شرط سرعة التماس الصفرية كأنه يخص نقطة واحدة طوال الزمن. [2]

حدد العجلة والإطار المرجعي

عجلة دائرية صلبة نصف قطرها R>0 بالمتر، تتدحرج يمينًا دون انزلاق على أرض أفقية ثابتة. سرعة المركز V>0 بالمتر/ثانية ثابتة. المحور x يمينًا وy إلى أعلى؛ نهمل تشوه الإطار، ولا نحسب قوى سيارة حقيقية. [1]

عند التماس تلغي سرعة الدوران النسبية إلى المركز سرعة انتقاله: −Rω+V=0. [1]

اختر نقطة مادية واحدة

نتتبع نقطة مادية واحدة P بدأت عند التماس في t=0. الدوران مع عقارب الساعة: θ=Vt/R بالراديان، وω=V/R بالراديان/ثانية. موضعها P=(R(θ−sinθ),R(1−cosθ))؛ الزمن t بالثانية. [3]

نجمع موضع المركز (Vt,R) مع نصف القطر الدوار (−Rsinθ,−Rcosθ). [3]

اشتق السرعة والتسارع

بالاشتقاق الزمني: vP=(V(1−cosθ),Vsinθ) بوحدة m/s، وaP=(V²sinθ/R,V²cosθ/R) بوحدة m/s². عند التماس θ=0: السرعة صفر، والتسارع إلى أعلى بمقدار V²/R=Rω². تسارع المركز والتسارع الزاوي صفر في هذا النموذج. [2][4]

انعدام الدالة في لحظة لا يوجب انعدام مشتقتها هناك. [4]

قارن التماس بأعلى العجلة

مثال مؤلف: R=0.4m,V=2m/s,ω=5rad/s. عند التماس vP=0,aP=(0,10)m/s². بعد نصف دورة t=π/5≈0.6283s تصبح النقطة أعلى العجلة: vP=(4,0)m/s,aP=(0,−10)m/s². مقدار تسارعها ثابت 10m/s²، واتجاهه يتغير. [3]

مضاعفة V إلى 4m/s مع ثبات R ترفع تسارع التماس إلى 40m/s²؛ سرعته هناك تبقى صفرًا. [3]

افصل نقطة الأرض عن موضع التماس

نقطة الأرض الثابتة سرعتها وتسارعها صفر. أما موضع التماس الحالي T=(Vt,0) فمشتقته (V,0)؛ إنه يختار نقاطًا مادية مختلفة. لا نشتق شرط سرعة التماس الصفرية كأنه يخص نقطة واحدة طوال الزمن. [2]

المركز اللحظي يصف السرعات؛ تسارعه ليس صفرًا. لا نعوض السرعة الأرضية الصفرية في قانون دائرة ثابتة المركز؛ المسار الأرضي سيكلويد. [2]

مركبات سرعة نقطة مادية وتسارعها قرب التماس — أصلي: `θ=Vt/R`؛ الأعلى `vx/V` أزرق و`vy/V` برتقالي. الأسفل `ax/(V²/R)` أزرق و`ay/(V²/R)` أخضر. عند الصفر تنعدم السرعتان وتبقى المركبة الرأسية للتسارع. [3][4]

المراجع

الاحتكاك ومقاومة الدحرجة

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.