التوازي والتعامد: التعريف والزوايا واختبار الميل

الخلاصة السريعة

في المستوى الإقليدي، المستقيمان المتوازيان متميزان لا يلتقيان مهما امتدا. أما المتعامدان فيلتقيان بزاوية قائمة قياسها 90°.^[1][2]

• لمستقيمين غير رأسيين، تساوي الميل واختلاف المقطع الصادي يعني التوازي؛ تساويهما معًا يعني التطابق.^[2]
• للتعامد بين مستقيمين غير رأسيين، حاصل ضرب الميلين يساوي −1؛ وتعامد الأفقي والرأسي حالة تعالج مباشرة.^[2]
• مع قاطع لمستقيمين متوازيين، تتساوى الزوايا المتناظرة والمتبادلة داخليًا، ومجموع الداخليتين في الجهة نفسها 180°.^[1]
• كل تعامد تقاطع، لكن تقاطع مستقيمين لا يشترط زاوية قائمة.
• في مثالنا الميلان 2 و 2 متوازيان عند اختلاف المقطعين، والميلان 2 و −1/2 متعامدان.

ما الفرق بين التوازي والتقاطع والتعامد؟

شرط المستوى جزء من تعريف التوازي؛ فعدم التقاء مستقيمين في الفراغ وحده لا يكفي للحكم بأنهما متوازيان.^[1]

نميز أيضًا التطابق: إذا كانت المعادلتان تمثلان المستقيم نفسه، فلا نتحدث عن مستقيمين متوازيين متميزين.^[2]

خذ y=2x+1 و y=2x−3: ميلهما واحد ومقطعاهما مختلفان، فلا نقطة مشتركة لهما. أما y=2x+1 و y=x+1 فيلتقيان عند (0، 1)، لكن هذا اللقاء ليس زاوية قائمة؛ حاصل ضرب الميلين 2، لا −1.

في لوحة المقارنة تمثل الأسهم امتداد المستقيمات؛ فلا نحكم على التوازي من توقف قطعتين قصيرتين قبل أن تلتقيا.

كيف نختبر التعامد بالميل؟

الميول المتعامدة متبادلة بالمقلوب وتغيير الإشارة. فإذا كان أحد الميلين 2، كان الآخر −1/2، ويكون حاصل ضربهما −1.^[2]

لنقارن y=2x+1 و y=−x/2+1. يلتقيان عند (0، 1)، ومتجها اتجاههما (1، 2) و(2، −1). حاصل الضرب الداخلي 1×2+2×(−1)=0، مما يؤكد التعامد في الرسم ذي المقياس المتساوي للمحورين.

الرأسي ميله غير معرف، والأفقي ميله صفر؛ فلا نحاول ضرب ميل غير معرف في الصفر. مثلًا x=4 و y=3 متعامدان عند (4، 3).^[2]

اختبار المقلوب وحده ناقص: الميلان 2 و 1/2 حاصل ضربهما 1، ولذلك لا يحققان شرط التعامد.

ماذا يخبرنا القاطع عن الزوايا؟

عندما يقطع مستقيم مستقيمين متوازيين في المستوى، تتساوى الزاويتان المتناظرتان، وكذلك المتبادلتان داخليًا. أما الداخليتان في الجهة نفسها من القاطع فمتكاملتان؛ مجموعهما 180°.^[1]

إذا كانت زاوية في الرسم 60°، فمتناظرتها 60°، والزاوية الداخلية في الجهة نفسها والمكملة لها 120°. لا نكتب أن الزوايا الثماني كلها متساوية.

أسماء الزوايا تصف مواقعها؛ وتساوي قياساتها في هذا المثال يستند إلى التوازي.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: معادلة الخط المستقيم: من نقطتين إلى الميل والمقطع.