تعريف المنشور السداسي: الأوجه والارتفاع والحجم ومساحة السطح

الخلاصة السريعة

للمنشور السداسي قاعدتان سداسيتان متطابقتان ومتوازيتان وستة جوانب؛ تكون الجوانب مستطيلات في القائم. ^[1][3]

• نعد 12 رأسًا و 18 حافة و 8 أوجه: قاعدتين وستة جوانب.
• القاعدة المنتظمة تتساوى أضلاعها وزواياها؛ تساوي الأضلاع وحده لا يكفي. ^[2]
• في القائم تكون الحواف الجانبية عمودية على القاعدتين؛ وفي المائل تكون الجوانب متوازيات أضلاع. ^[1][3]
• الحجم V=BH، حيث B مساحة قاعدة و H المسافة العمودية بين القاعدتين؛ لا نأخذ حافة مائلة بدل H. ^[1][3]
• للقائم، المساحة الكلية S=2B+PH، حيث P محيط القاعدة. لا تعمم صيغة الجوانب المستطيلة على المائل. ^[4]
• في مثال قاعدة منتظمة ضلعها 2 سم وارتفاع قائم 5 سم: الحجم 30√3 سم³، والسطح 60+12√3 سم².

الانتظام والقيام صفتان مختلفتان

تتطابق قاعدتا المنشور وتتوازيان، ويحدد عدد أضلاع القاعدة عدد جوانبه. ^[1][3] للسداسي ست زوايا في كل قاعدة؛ نعد 6+6=12 رأسًا، و 6+6+6=18 حافة، و 2+6=8 أوجه.

الانتظام وصف للقاعدة: جميع الأضلاع وجميع الزوايا متساوية. ^[2] أما القيام فيصف تعامد الحواف الواصلة بين القاعدتين مع مستوييهما. ^[1] لا تختصر الصفتين في كلمة واحدة.

وتكون الأوجه الجانبية مستطيلات في القائم، ومتوازيات أضلاع في المائل. ^[3] الرسم إسقاط لنموذج قائم؛ ما يظهر مائلًا في الإسقاط لا يغير تعامده في المجسم.

الارتفاع والحجم في نموذج محدد

نرمز لمساحة قاعدة واحدة B، وللمسافة العمودية بين القاعدتين H. الحجم V=BH للقائم والمائل. ^[1][3] ومع ثبات B و H يبقى الحجم نفسه، حتى لو تغير طول الحافة المائلة.

لقاعدة سداسية منتظمة ضلعها s، المساحة B=(3√3/2)s². وعمود المركز على أحد الأضلاع طوله q=√3s/2؛ هذا طول داخل القاعدة، لا ارتفاع المنشور. ^[5]

نختار مثالًا قائمًا بأطوال بالسنتيمتر: s=2 و H=5. نحسب q=√3 سم و B=6√3 سم²، ثم V=6√3×5=30√3≈51.962 سم³.

القاعدة وحدة مساحة، والارتفاع وحدة طول؛ ينتج حجم مكعب الوحدة. ^[6] لا نضع q مكان H لمجرد أن الرسم يظهر خطين يسمى كل منهما ارتفاعًا.

مساحة السطح وشروط القانون

في المنشور القائم، نجمع المستطيلات الجانبية: طول كل ضلع قاعدة في H. يصبح مجموعها PH، ثم نضيف قاعدتين لنحصل على S=PH+2B. ^[4]

محيط القاعدة في مثالنا P=6×2=12 سم. الجوانب مساحتها 12×5=60 سم²، والقاعدتان 12√3 سم². لذلك S=60+12√3≈80.785 سم².

أما المائل، فتحتاج مساحات الجوانب إلى معلومات عن كل وجه؛ لا يكفي تطبيق PH بهيئة القائم. ^[4] قبل حساب الغلاف، سم الشكل وحدد المعطيات، ثم اختر المساحات التي ستجمعها.