تقاطع قطري شبه المنحرف يحدد مثلثين جانبيين متساويَي المساحة. [1]
الخلاصة السريعة
نعم، عند تقاطع القطرين؛ لا يلزم تساوي الساقين. [1]
- خذ شبه منحرف محدبًا غير منعدم، رؤوسه
A,B,C,Dمتتالية وAB∥CD. يتقاطعACوBDعندO. المقصود المثلثانAODوBOCالمجاوران للساقين. [1] - المثلثان
ABCوABDلهما القاعدةABنفسها والارتفاعhنفسه؛ الرأسانC,Dعلى المستقيم الموازي. إذن مساحة كل منهماAB*h/2. [2] - المثلث
AOBجزء مشترك:ABC=AOB+BOCوABD=AOB+AODفي المساحة. بطرح المساحة المشتركة من مقدارين متساويين، نحصل على تساوي مساحتَيBOCوAOD. [2] - مثال مؤلف: القاعدتان 14 و6 سم، والارتفاع 8 سم. مساحات
AOB,BOC,COD,DOAبالترتيب: 39.2 و16.8 و7.2 و16.8 سم²؛ مجموعها 80 سم². [1] - التساوي يخص المثلثين الجانبيين، لا المساحات الأربع عمومًا. ولا نشترط شبه منحرف متساوي الساقين؛ التوازي ونقطة تقاطع القطرين هما أساس النتيجة. [1]
سمّ المنطقتين
خذ شبه منحرف محدبًا غير منعدم، رؤوسه A,B,C,D متتالية وAB∥CD. يتقاطع AC وBD عند O. المقصود المثلثان AOD وBOC المجاوران للساقين. [1]
اختيار نقطة داخلية أخرى لا يحقق الشرط.
قاعدة وارتفاع مشتركان
المثلثان ABC وABD لهما القاعدة AB نفسها والارتفاع h نفسه؛ الرأسان C,D على المستقيم الموازي. إذن مساحة كل منهما AB*h/2. [2]
الارتفاع عمودي؛ لا تستبدله بالساق المائلة.
اطرح الجزء المشترك
المثلث AOB جزء مشترك: ABC=AOB+BOC وABD=AOB+AOD في المساحة. بطرح المساحة المشتركة من مقدارين متساويين، نحصل على تساوي مساحتَي BOC وAOD. [2]
هذا برهان عام، لا يعتمد على شكل متماثل.
راجع المثال
مثال مؤلف: القاعدتان 14 و6 سم، والارتفاع 8 سم. مساحات AOB,BOC,COD,DOA بالترتيب: 39.2 و16.8 و7.2 و16.8 سم²؛ مجموعها 80 سم². [1]
نختار إحداثيات بالسنتيمتر: A=(0,0)، B=(14,0)، C=(9,8)، D=(3,8). حل مستقيمَي القطرين يعطي O=(6.3,5.6)؛ فتكون مساحتا المثلثين الكبيرين 56 سم²، و56−39.2=16.8 سم². [1][2]
لا تعمم المساواة
التساوي يخص المثلثين الجانبيين، لا المساحات الأربع عمومًا. ولا نشترط شبه منحرف متساوي الساقين؛ التوازي ونقطة تقاطع القطرين هما أساس النتيجة. [1]
في المثال، مربعَا طولي الساقين 73 و89 سم²؛ فهما مختلفتان. ولو استبدلنا O بالنقطة P=(7,4)، تصبح مساحتا DAP وBCP على الترتيب 22 و18 سم²، فلا تتساويان. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.