تقاطع وترين داخل دائرة: تساوي حاصل الضرب لا يساوي الطولين

سم جزأي كل وتر قبل الضرب

للوترين أ ب وج د المتقاطعين في ن داخل دائرة واحدة: ن أ×ن ب=ن ج×ن د. [1]

ن بين أ وب، وبين ج ود. اجمع جزأي الوتر لطوله الكامل؛ العلاقة تقارن حاصلَي الضرب.

نؤلف دائرة مركزها و=(0،0)، ونصف قطرها10 سم، ونقطة داخلية ن=(6،0) سم. الأفقي يلتقي الدائرة عند أ=(10،0) وب=(−10،0)، والرأسي المار بن عند ج=(6،8) ود=(6،−8).

النهايتان الرأسيتان على الدائرة لأن6²+8²=100، وكذلك النهايتان الأفقيتان لأن10²=100. ن أ=4 سم ون ب=16 سم؛ ن ج=ن د=8 سم. لذلك4×16=8×8=64 سم².

طول أ ب الكامل4+16=20 سم، وطول ج د الكامل8+8=16 سم. الفرق4 سم رغم تساوي المنتجين. أما4×8=32 سم² فيخلط جزءًا من الوتر الأول بجزء من الثاني؛ لا يمثل أي طرف من العلاقة المطلوبة.

قبل إيجاد جزء مجهول، سجل طرفيه. لو كان ن ج=8 سم ومجهولك ن د، فاكتب8×ن د=64؛ القسمة على8 تعطي8 سم. لا تجعل ن د=16 اعتمادًا على طول الوتر الرأسي كله.

المنتج مرتبط بالنقطة والدائرة، لا باتجاه الوتر

العمود من المركز على وتر لا يمر بالمركز ينصف ذلك الوتر. [2]

خذ منتصف وتر م، ونصف طوله ح، وبعد المركز عن م ع. مثلث المركز وم وأحد طرفي الوتر قائم، لذا ح²+ع²=ر². إذا كان بعد ن عن م على الوتر ز، فجزآه ح−ز وح+ز بعد تسمية الجهة المناسبة. [2]

حاصل ضرب الجزأين مع مربع المسافة عن المنتصف يساوي مربع نصف الوتر. [3] بالرموز: (ح−ز)(ح+ز)+ز²=ح².

المنتج=ح²−ز²=ر²−ع²−ز²=ر²−و ن²؛ لأن و ن²=ع²+ز². هذه صيغة برهان العلاقة. [1]

في الوتر الرأسي لمثالنا، م=ن=(6،0)، ح=8، ع=6، ز=0؛ المنتج64−0=64 سم². في القطر الأفقي، المنتصف هو و، ح=10 وز=6؛ المنتج100−36=64 سم² مباشرة، دون إنشاء مثلث منعدم عند المركز.

الرمز ح هنا لنصف طول الوتر، لا لنقطة على الرسم. في الصيغة ر²−و ن²، ر نصف القطر، أما و ن فبعد نقطة التقاطع عن المركز. لا تضع طول الوتر الكامل مكان ر.

تحريك ن يغير المنتج: لو صارت ن′=(0،0) في الدائرة نفسها، صار المنتج100 سم²؛ كل وتر يمر بالمركز قطر وجزآه10 و10. ثبات الدائرة وحده لا يحفظ64 إذا غيرنا نقطة التقاطع.

مثال مائل يزيل شرط الزاوية القائمة

يبقى ن=(6،0)، ونختار خطًا اتجاهه(1،1). نقاطه(6+ت،ت)، حيث ت معامل موضع بإشارة، وليس طول قطعة موجبًا بالضرورة. معادلته ص=س−6.

التعويض في س²+ص²=100 يعطي2ت²+12ت−64=0، أو ت²+6ت−32=0. بإكمال المربع(ت+3)²=41؛ إذن ت=−3+√41 أو ت=−3−√41.

الأول موجب لأن√41>3، والثاني سالب. لذلك تقع ن بين نقطتي التقاطع هـ=(3+√41،−3+√41) وك=(3−√41،−3−√41). مربع بعد كل نقطة عن المركز(3±√41)²+(−3±√41)²=18+82=100.

متجه الاتجاه(1،1) طوله√2. طول ن هـ=√2(√41−3)≈4.813 سم، وطول ن ك=√2(√41+3)≈13.298 سم. ضربهما يعطي2×(41−9)=64 سم².

مجموعهما2√82≈18.111 سم، وهو طول الوتر المائل الكامل. تقع قيمته بين16 للرأسي و20 للقطر في مثالنا. لو ضربنا طولًا موجبًا في المعامل السالب ت بدل طول ن ك الموجب، ظهر خطأ إشارة؛ المعامل ليس المسافة نفسها.

الزاوية بين الخط المائل والأفقي45°، وليست90°. يتساوى المنتج رغم ذلك؛ اختيار الوتر الرأسي في الصورة الأولى جعل الأرقام سهلة، ولم يضف شرط تعامد إلى العلاقة.

الصور محسوبة من الإحداثيات. احتفظ بالجذور في الحساب؛ التقريب إلى4.813 و13.298 يأتي بعد تحقق المنتج الدقيق، لا قبل إثباته.

افحص الطول الكامل عندما تحل المسألة بالعكس

معرفة مجموع جزأين وحاصل ضربهما تختزل المسألة إلى معادلة تربيعية. [3]

إذا عرفنا في مثالنا أن الجزءين موجبان، ومنتجهما64 سم² ومجموعهما20 سم، نفرض أحدهما س والآخر20−س. عندئذ س(20−س)=64؛ تصبح س²−20س+64=0، أي(س−4)(س−16)=0.

الحلان س=4 أو16، فيكون الزوج4 و16 في الحالتين. التبديل يغير تسمية الجزء الأول فقط. لتعيين الجهة نعود إلى الإحداثيات: من ن6 إلى أ10 مسافة4، ومن ن6 إلى ب−10 مسافة16.

لو كان الكامل12 سم مع المنتج64، فإن(س−ص)²=(س+ص)²−4سص=144−256=−112. مربع عدد حقيقي غير سالب؛ إذن لا يوجد زوج حقيقي، قبل أن نحاول رسمه.

عمومًا في هذا المثال، إذا كان الكامل ل ومنتج الجزأين64، فـل²−256 يجب أن يكون غير سالب. مع ل موجب نحصل على ل≥16 سم. تتحقق16 عندما يتساوى الجزآن8 و8، كما في الوتر الرأسي.

لدائرة نصف قطرها10، لا يتجاوز طول الوتر20 سم: نصف الوتر ضلع في مثلث قائم وتره نصف القطر10، أو يساوي10 عندما يكون الوتر قطرًا. لذا أطوال الأوتار عبر ن في المثال محصورة بين16 و20 سم.

المجموع22 والمنتج64 يعطيان عددين موجبين11+√57 و11−√57، لكنهما لا يمكن أن يكونا جزأي وتر في دائرة المثال؛ كامل22 يتجاوز القطر20. اجمع بين الحساب وشروط الدائرة والنقطة نفسها.

ن داخل الدائرة حصرًا. على المحيط قد يصير جزء صفرًا؛ وخارجها لا تقع ن بين نهايتي الوتر. [1]