حجم الهرم الرباعي الناقص: القانون والاشتقاق ومثال

الخلاصة السريعة

حجم الهرم الرباعي الناقص ذي القاعدتين المربعتين المتوازيتين هو V = h(a²+ab+b²)/3، حيث a و b طولا ضلعي القاعدتين، و h الارتفاع العمودي بينهما.^[1]

• عند معرفة مساحتي القاعدتين A₁ و A₂، نستخدم V = h(A₁+A₂+√(A₁A₂))/3.^[1]
• الارتفاع h عمودي على القاعدتين؛ طول الحرف المائل ليس بديلًا عنه.^[1]
• القانون يخص جزءًا من هرم قطعته قاعدة موازية للأصل؛ القاعدتان متشابهتان.^[1]
• في مثالنا a=9 سم و b=3 سم و h=8 سم، فيكون الحجم 312 سم³.
• العدد ab يساوي المتوسط الهندسي لمساحتي المربعين؛ ولا يساوي عمومًا مساحة مقطع منتصف الارتفاع.

ما القياسات التي يحتاجها القانون؟

نتناول جذع هرم مربع: نقطع أعلى الهرم بمستوى موازٍ لقاعدته ونحتفظ بالجزء السفلي. القاعدة العليا نسخة مصغرة مشابهة للقاعدة السفلى.^[1]

إذا كانت المدخلات أطوالًا، نستخدم a² و b² لمساحتي المربعين. وإذا كانت المدخلات مساحتين أصلًا، لا نربعهما مرة ثانية؛ بل نستخدم صيغة A₁ و A₂.^[1]

في الصيغتين نضرب مساحة في طول، فتكون وحدة الناتج مكعبة. ومثالنا يستخدم السنتيمتر لكل طول، ولذلك نعبر عن الحجم بالسم³.

كيف نستنتج القانون بطرح هرمين؟

يمكن فهم الجذع على أنه الفرق بين الهرم الأصلي والهرم الصغير المقطوع.^[1]

للمثال الأصلي a=9 و b=3 و h=8. نسبة التشابه 3/9=1/3؛ ولذا ارتفاع الهرم الصغير ثلث ارتفاع الكبير. إذا سمينا الارتفاعين H و t، فلدينا t=H/3 و H−t=8، ومنهما H=12 سم و t=4 سم.

حجم الكبير 9²×12÷3 = 324 سم³، وحجم الصغير 3²×4÷3 = 12 سم³. الفرق 324−12 = 312 سم³. وبالتعويض المباشر في صيغة الجذع نحصل على 8(81+27+9)/3 = 312، فتتفق الطريقتان.

في الحالة العامة، عند a>b نحصل من التشابه على H=ha/(a−b) و t=hb/(a−b). طرح الحجميْن يعطي h(a³−b³)/(3(a−b))؛ وفك فرق المكعبين يعطي القانون h(a²+ab+b²)/3.

أخطاء تكشفها الوحدات والمقاطع

في المثال مساحتا القاعدتين 81 و 9 سم². الجذر √(81×9)=27 سم²، وهو نفسه ab=9×3، ولذلك تصلح الصيغتان للمدخلات نفسها.

لكن عند نصف ارتفاع الجذع يصبح طول ضلع المقطع 6 سم، ومساحته 36 سم²؛ وهذا يختلف عن 27 سم². فالمتوسط الهندسي في القانون لا يمثل مساحة مقطع منتصف الارتفاع.

لا نستعمل صيغة المخروط الناقص هنا؛ قاعدتا هذا الشكل مربعان. كما لا نجمع طول الضلع مع مساحة القاعدة داخل القوس؛ يجب أن تكون حدوده الثلاثة مساحات حتى تبقى وحدة الناتج حجمًا.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: حساب حجم المخروط الناقص: القانون ومثال خطوة بخطوة.