متتابعة هندسية من حدين معلومين قد تسمح بنسبة موجبة وأخرى سالبة. نعد الحلول الحقيقية من فجوة الترتيبين وإشارة حاصل القسمة. [1][2]
الخلاصة السريعة
فجوة زوجية وحاصل قسمة موجب يعطيان قاعدتين في نموذجنا. [2]
- نفترض متتابعة هندسية حقيقية a_n=a1r^(n−1)، بترقيم n=1,2,… . نعرف حدين غير صفريين a_p=A وa_q=B عند p<q. لذلك a1≠0 وr≠0. لا نفترض أن جميع الحدود موجبة؛ الحالات ذات حدود صفرية خارج هذا الفحص. [1]
- ضع k=q−p وQ=B/A؛ k صحيح موجب وQ≠0. قسمة عبارتي الحدين تعطي r^k=Q. لكل نسبة تحققها نستعيد a1=A/r^(p−1)، ثم نتحقق من المعطيين. اختلاف النسبتين يغير الحد التالي بعد a_p، فلا يعطي القاعدة نفسها. [1]
- إذا k فردي، فالقوة الفردية متزايدة تمامًا على الأعداد الحقيقية وتعطي حلًا واحدًا إشارته إشارة Q. إذا k زوجي وQ>0، يوجد حلان متعاكسا الإشارة؛ وإذا Q<0، لا يوجد حل حقيقي لأن القوة الزوجية غير سالبة. هذا تصنيف كامل ضمن الشروط المذكورة. [2]
- مثال مؤلف: a_2=6 وa_6=96؛ r⁴=16، فالنسبتان 2 و−2. الأولى تعطي a1=3 وحدودًا 3,6,12,24,48,96؛ والثانية a1=−3 وحدودًا −3,6,−12,24,−48,96. المعطيان متطابقان، لكن الحد الثالث 12 أو−12. [1]
- لو كان a_2=6 وa_6=−96 لنتج r⁴=−16، فلا حل حقيقي. وفي مثال مستقل a_2=6 وa_5=−48 نحصل على r³=−8؛ الحل الوحيد r=−2، ومنه a1=−3. زوجية الفجوة تختلف هنا عن إشارة قيمتي الحدين. [2]
- الجذر الرابع الرئيسي للعدد 16 هو 2؛ لكنه لا يحصي وحده حلول r⁴=16، إذ إن (−2)⁴=16 أيضًا. إذا أضاف السؤال شرط إيجابية كل الحدود، يستبعد النسبة السالبة؛ لا نضيفه من عندنا. افحص الفجوة والإشارة، ثم ابنِ كل قاعدة واقرأ شروط المسألة. [2]
حدد النموذج والحدين
نفترض متتابعة هندسية حقيقية a_n=a1r^(n−1)، بترقيم n=1,2,… . نعرف حدين غير صفريين a_p=A وa_q=B عند p<q. لذلك a1≠0 وr≠0. لا نفترض أن جميع الحدود موجبة؛ الحالات ذات حدود صفرية خارج هذا الفحص. [1]
استخرج معادلة النسبة
ضع k=q−p وQ=B/A؛ k صحيح موجب وQ≠0. قسمة عبارتي الحدين تعطي r^k=Q. لكل نسبة تحققها نستعيد a1=A/r^(p−1)، ثم نتحقق من المعطيين. اختلاف النسبتين يغير الحد التالي بعد a_p، فلا يعطي القاعدة نفسها. [1]
صنف عدد الحلول الحقيقية
إذا k فردي، فالقوة الفردية متزايدة تمامًا على الأعداد الحقيقية وتعطي حلًا واحدًا إشارته إشارة Q. إذا k زوجي وQ>0، يوجد حلان متعاكسا الإشارة؛ وإذا Q<0، لا يوجد حل حقيقي لأن القوة الزوجية غير سالبة. هذا تصنيف كامل ضمن الشروط المذكورة. [2]
ابنِ القاعدتين للمثال
مثال مؤلف: a_2=6 وa_6=96؛ r⁴=16، فالنسبتان 2 و−2. الأولى تعطي a1=3 وحدودًا 3,6,12,24,48,96؛ والثانية a1=−3 وحدودًا −3,6,−12,24,−48,96. المعطيان متطابقان، لكن الحد الثالث 12 أو−12. [1]
قارن حالة مستحيلة بأخرى وحيدة
لو كان a_2=6 وa_6=−96 لنتج r⁴=−16، فلا حل حقيقي. وفي مثال مستقل a_2=6 وa_5=−48 نحصل على r³=−8؛ الحل الوحيد r=−2، ومنه a1=−3. زوجية الفجوة تختلف هنا عن إشارة قيمتي الحدين. [2]
ميز الجذر الرئيسي من حل المعادلة
الجذر الرابع الرئيسي للعدد 16 هو 2؛ لكنه لا يحصي وحده حلول r⁴=16، إذ إن (−2)⁴=16 أيضًا. إذا أضاف السؤال شرط إيجابية كل الحدود، يستبعد النسبة السالبة؛ لا نضيفه من عندنا. افحص الفجوة والإشارة، ثم ابنِ كل قاعدة واقرأ شروط المسألة. [2]
المراجع
ترتيب الحد وقيمته ومجموع الحدود
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.