خصائص الشكل السداسي المنتظم: الزوايا والأقطار والمحيط والمساحة

الخلاصة السريعة

السداسي المنتظم المحدب له ستة أضلاع متساوية وزوايا متساوية؛ زاويته الداخلية 120° والخارجية 60°. له تسعة أقطار، ويختلف طول القطر الذي يمر بالمركز من القطر الذي يتجاوز رأسًا واحدًا. ^[1][2][4]

• الانتظام يحتاج تساوي الأضلاع والزوايا معًا. ^[1]
• مجموع الداخل 720°؛ وفي المنتظم تكون كل زاوية 120°، والخارجية المجاورة 60°. ^[2]
• عدد الأقطار 6(6−3)/2=9: ستة قصيرة وثلاثة طويلة. ^[4]
• لضلع s، القطر الطويل 2s، والقصير √3s؛ نصف قطر الدائرة المارة بالرؤوس يساوي s. ^[2][5]
• المحيط P=6s، والمساحة A=(3√3/2)s². عمود المركز على ضلع طوله q=√3s/2. ^[1][3]
• في مثال ضلع 4 سم: المحيط 24 سم، الطويل 8 سم، القصير 4√3≈6.928 سم، والمساحة 24√3≈41.569 سم².

الأضلاع والزوايا قبل استعمال الصيغ

المضلع المنتظم يجمع تساوي الأطوال وتساوي الزوايا. ^[1] لا نستنتج انتظام سداسي من قياس ضلع واحد أو من مظهر مألوف يشبه قرصًا.

تبلغ الزاوية الداخلية للسداسي المنتظم 120°، ويكملها خارجًا 60° على خط مستقيم. المجموع الداخلي للسداسي 720°. ^[2] للمنتظم نقسم هذا المجموع على 6؛ لا نفترض 120° لكل زاوية في سداسي غير منتظم.

وعند وصل المركز بالرؤوس تتكون ستة مثلثات متساوية الأضلاع؛ نصف القطر إلى الرأس يساوي طول الضلع. ^[2] المقصود دائرة تمر بالرؤوس، لا المسافة إلى منتصف ضلع.

عد الأقطار ومقارنة طولين

من كل رأس، نستبعد الرأس نفسه وجاريه؛ يبقى ثلاثة رؤوس تتصل بأقطار. نضرب 6×3، ثم نقسم على 2 لأن كل قطر عد من طرفيه: 9 أقطار. ^[4]

ثلاثة أزواج من الرؤوس متقابلة عبر المركز، فتنتج ثلاثة أقطار طويلة طولها 2s. وتنتج الأزواج الأخرى ستة أقطار قصيرة، طول كل منها √3s. ^[2][5] يفصل الرسم المجموعتين بدل ازدحامهما في لوحة واحدة.

في مثالنا، s=4 سم. إذن الطويل 8 سم، والقصير 4√3≈6.928 سم. نترك الجذر كما هو أولًا، ثم نقرب العرض إلى ثلاثة منازل؛ الرمز √3 يعني جذر العدد 3 لا العدد 3 نفسه.

المحيط والمساحة وعمود المركز

المحيط مجموع الأضلاع، ولذلك P=6s. وللسداسي المنتظم مساحة A=(3√3/2)s²، وعمود من المركز إلى ضلع طوله q=√3s/2. ^[1][3] الرمز q مسافة إلى الضلع، بينما المسافة إلى الرأس s.

عند s=4 نحصل على P=24 سم، و q=2√3≈3.464 سم. المساحة A=(3√3/2)×16=24√3≈41.569 سم². ويمكن التحقق بجمع ستة مثلثات، مساحة كل منها 4×2√3/2=4√3.

راجع نوع الناتج: طول قطر ومحيط بوحدة طول، ومساحة بوحدة مربعة. لا نستعمل الصيغ الخاصة بالمنتظم لسداسي لم تتحقق شروطه، ولا نبدل q بالقطر أو بالضلع في المسألة.