خط دروز–فارني: منتصفات التقاطعات مع مستقيمين متعامدين

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة دروز–فارني على أن مستقيمين متعامدين يمران بملتقى ارتفاعات مثلث يحددان على خطوط أضلاعه ثلاث قطع مستقيمة، ومنتصفات هذه القطع على مستقيم واحد. [1] نعالج هنا الحالة التي يكون فيها كل تقاطع وحيدًا ومنتهيًا.

• في المثلث المختار، الارتفاع من C هو x=3، ومن A هو y=7x/6؛ تقاطعهما H=(3,7/2). هذه النقطة تقع على الارتفاع من B أيضًا.
• المستقيمان y=x/3+5/2 و y=−3x+25/2 يمران بـ H. حاصل الضرب القياسي لاتجاهيهما (3,1) و (1,−3) هو 0، فيتحقق التعامد.
• على كل خط ضلع، نأخذ تقاطعه مع المستقيم الأول والثاني ثم متوسط إحداثييهما. نحصل على MA=(52/15,28/5)، MB=(2,4)، MC=(−5/3,0).
• النقاط الثلاث تحقق 12x−11y=−20. تقع MC خارج AB، وأحد التقاطعين مع BC بعد C؛ الامتدادات جزء من البناء ولا يجوز نقل النقاط إلى داخل المثلث.
• مع الاتجاه (1,−2) بدل (1,−3)، يصبح محدد متجهي المنتصفات −1029/320، فلا تستقيم. ومع مركز (3,3) بدل H واتجاهين متعامدين، يصبح المحدد 24/25، فلا تستقيم أيضًا.
• إذا كان أحد المستقيمين موازيًا لخط ضلع، فلا يوجد التقاطع الوحيد المطلوب. حساب مثال أو عدة اتجاهات يؤكد الحالات المحسوبة؛ بيان المبرهنة العام أوسع من هذه الاختبارات.

أي قطع نأخذ منتصفها؟

ابدأ بمثلث غير منعدم وملتقى ارتفاعاته H. مرر عبر H مستقيمين متعامدين. على BC سمِّ تقاطعيهما A1 و A2، وعلى CA سمِّهما B1 و B2، وعلى AB سمِّهما C1 و C2. المنتصفات المطلوبة تخص A1A2 و B1B2 و C1C2. [1]

هذه ليست منتصفات الأضلاع BC و CA و AB. طرفا القطعة المختارة على كل خط ضلع هما تقاطعاه مع المستقيمين الجديدين؛ وقد يقع أحد الطرفين أو كلاهما على امتداد الضلع. لذلك نحدد التقاطعات أولًا ثم نأخذ المنتصف.

ولا نأخذ أقدام أعمدة من نقطة إلى خطوط الأضلاع. المستقيمان يتعامدان أحدهما على الآخر، ولا يشترط تعامد كل منهما مع ضلع. هذا التفصيل يميز البناء عن إسقاط نقطة على الأضلاع كما في خط سيمسون.

سنستخدم MA لمنتصف A1A2، و MB لمنتصف B1B2، و MC لمنتصف C1C2. اللاحقة تشير إلى الرأس المقابل لخط الضلع، لا إلى أن المنتصف يقع عند ذلك الرأس. احتفظ بالاسم نفسه في الجدول والرسم والحساب.

حدد ملتقى الارتفاعات ثم المستقيمين

خط AB أفقي، ولذلك الارتفاع من C هو x=3. اتجاه BC=(−7,6)، فيكون اتجاه عموده (6,7). الارتفاع من A يحقق y=7x/6. عند x=3 نجد y=7/2، فتكون H=(3,7/2).

للفحص الثالث، اتجاه AC=(3,6)، واتجاه BH=(−7,7/2). ضربهما القياسي −21+21=0، لذلك BH عمودي على AC. حساب الارتفاع الثالث يكشف خطأ اختيار نقطة تقاطع خطين لا يمثلان ارتفاعين فعلًا.

اختر اتجاهًا u=(3,1) واتجاهًا v=(1,−3). حاصل u·v=3−3=0. من H نكتب المستقيم الأول y−7/2=(x−3)/3، فيصبح y=x/3+5/2. والثاني y−7/2=−3(x−3)، فيصبح y=−3x+25/2.

التعويض بـ x=3 في المعادلتين يعطي 7/2. وتختلف ميولهما عن ميول خطوط الأضلاع: AB ميله 0، و CA ميله 2، و BC ميله −6/7. لهذا تكون التقاطعات الستة المطلوبة وحيدة ومنتهية في هذا المثال.

احسب ستة تقاطعات وثلاثة منتصفات

خط BC هو 6x+7y=60. بالتعويض عن y من المستقيم الأول نحصل على 25x/3+35/2=60، أي x=51/10 ثم y=21/5. ومن المستقيم الثاني نحصل على −15x+175/2=60، أي x=11/6 ثم y=7.

أما CA فمعادلته y=2x. مع المستقيم الأول نجد 2x=x/3+5/2، فتكون B1=(3/2,3). ومع الثاني نجد 2x=−3x+25/2، فتكون B2=(5/2,5). هاتان النقطتان تقعان على CA نفسها.

على AB نضع y=0. من الأول نحصل على C1=(−15/2,0)، ومن الثاني C2=(25/6,0). النقطة C1 يسار A، فلا تظهر داخل الضلع المحدود من 0 إلى 10. إبقاؤها على الامتداد ضروري لحساب المنتصف الصحيح.

نأخذ متوسط الإحداثيين في كل زوج. على BC يكون مجموع الإحداثيين الأفقيين 104/15، ونصفه 52/15. ومجموع الرأسيين 56/5، ونصفه 28/5. إذن MA=(52/15,28/5). وعلى CA نحصل على MB=(2,4)، وعلى AB نحصل على MC=(−5/3,0).

تقع A2 بعد C على امتداد BC؛ فإحداثيها الرأسي 7 أكبر من 6. أما MA فتقع داخل BC. وتقع MC على امتداد AB قبل A. عدم وقوع المنتصفات الثلاثة كلها داخل الأضلاع لا يخالف البناء؛ المطلوب خط الضلع الكامل.

افحص الاستقامة بمعادلة واحدة

من MC=(−5/3,0) إلى MB=(2,4)، فرق x هو 11/3 وفرق y هو 4، فالميل 12/11. المعادلة y=(12/11)(x+5/3) تكافئ 12x−11y=−20.

عند MA يصبح الطرف الأيسر 12×52/15−11×28/5=208/5−308/5=−20. وعند MB هو 24−44=−20. وعند MC هو −20−0=−20. لهذا تستقيم المنتصفات الثلاثة، مع كونها نقاطًا مختلفة.

يمكن أيضًا استعمال المحدد. اطرح إحداثيي MC من النقطتين الأخريين: نحصل على (77/15,28/5) و (11/3,4). المحدد (77/15)×4−(28/5)×(11/3)=308/15−308/15=0. هذا فحص حسابي ثانٍ للاستقامة نفسها.

أثبتنا النتيجة لهذا المثلث ولهذين المستقيمين بحساب دقيق. أما المبرهنة العامة فتشمل المثلثات والاتجاهات التي تحقق شروطها؛ لم نستنتجها منطقيًا من نجاح هذا المثال. الرسم يعرض مواقع النقاط، ولا يحل محل مساواة البواقي بالصفر.

غيّر التعامد أو نقطة المرور

أبقِ المستقيم الأول و H، وبدّل اتجاه الثاني إلى (1,−2). يصبح المستقيم الثاني y=−2x+19/2. حاصل ضرب الاتجاهين هو 3−2=1، فلا يتعامدان. منتصفات التقاطعات الجديدة WA=(473/160,483/80)، WB=(31/16,31/8)، WC=(−11/8,0).

المحدد بين متجهي WA إلى WB و WA إلى WC يساوي −1029/320. لأنه غير صفر، لا تستقيم المنتصفات. مساحة مثلثها 1029/640. المثال يوضح أن مرور المستقيمين بـ H وحده لا يضمن النتيجة عند حذف التعامد.

في اختبار منفصل، أبقِ الاتجاهين المتعامدين (3,1) و (1,−3)، وانقلهما ليمرا بالنقطة Q=(3,3). المعادلتان y=x/3+2 و y=−3x+12. لكن Q ليست ملتقى الارتفاعات؛ فهي لا تحقق y=7x/6.

المنتصفات الجديدة QA=(89/25,138/25)، QB=(9/5,18/5)، QC=(−1,0). محدد متجهي QA إلى QB و QA إلى QC يساوي 24/25، والمساحة 12/25، فتفشل الاستقامة رغم تعامد المستقيمين. لا يكفي اختيار نقطة داخل المثلث.

هذان مثالان مضادان لضمان النتيجة بعد حذف شرط. لا نقول إن كل زوج غير متعامد أو كل نقطة أخرى يفشل دائمًا؛ يكفي المثال المحسوب لإظهار أن الشرط المحذوف لا يمكن تجاهله في هذا البناء.

الامتداد والتوازي وحدود الاختبار

إذا اخترنا عبر H مستقيمين أفقيًا ورأسيًا، فهما متعامدان، لكن الأفقي y=7/2 يوازي AB الذي يحقق y=0. لا يوجد تقاطعهما المنتهي؛ فلا نستطيع إنشاء الزوج على AB بالطريقة السابقة. لا نعالج ذلك باختراع نقطة على الضلع.

ولو انطبق مستقيم جديد على خط ضلع، لكان التقاطع خطًا كاملًا لا نقطة وحيدة. نتحقق من فرادة التقاطع قبل استعمال صيغة المنتصف. والحالة التي يتطابق فيها طرفا زوج، إن كانت التقاطعات محددة، لها منتصف هو النقطة نفسها؛ لا نحتاج طولًا موجبًا كي نحسب متوسط إحداثيين.

للتدريب، غيّر الاتجاه الأول إلى (dx,dy)، واجعل الثاني (−dy,dx)، بشرط ألا يكون الاتجاه صفريًا. استبعد اتجاهات التوازي قبل الحساب. فحصنا 92 حالة منتهية من شبكة القيم الصحيحة من −5 إلى 5، واستبعدنا 28 حالة لم تتوافر فيها التقاطعات الوحيدة.

هذه الأعداد تخص شبكة اختبار صغيرة للمثلث نفسه، ولا تقيس احتمال صحة المبرهنة ولا تقدم برهانًا عامًا. عند إعداد حل جديد، افحص H، ثم التعامد، ثم التقاطعات الستة، ثم المنتصفات. إبقاء الكسور دقيقة يميز صفرًا حقيقيًا من باقٍ صغير بسبب التقريب.