رسم خماسي منتظم داخل دائرة: فتحتان وترتيب محيطي

حدد دائرة المساعدة وموقعها

ارسم قطرًا، ثم عمودًا عليه عند المركز. خذ منتصف نصف القطر على العمود مركزًا لدائرة تمر بالمركز وبطرف نصف القطر. خط من طرف القطر عبر مركز المساعدة يقطعها مرتين. [1]

نختار دائرة س²+ص²=36 ومركزها و=(0،0). القطر رأسي: أ=(0،6) وم=(0،−6). العمود الأفقي يحدد س=(6،0)، ومنتصف القطعة و س هو ل=(3،0). المساعدة معادلتها (س−3)²+ص²=9. نستعمل أسماء خاصة بمثالنا، ونتابع المواضع الهندسية بدل حفظ حروف رسم المرجع.

مربع م ل=3²+6²=45، فالمسافة 3√5. متجه الوحدة من م نحو ل هو (1/√5،2/√5). نقطتا المساعدة على هذا الخط هما ن=(3−3/√5،−6/√5) وف₀=(3+3/√5،6/√5).

تبعد كل نقطة 3 عن ل لأن مربّع فرقها الإحداثي 9/5+36/5=9. تقع ن بين م ول، وف₀ بعد ل؛ ولذلك م ن=3√5−3 وقيمته ق، وم ف₀=3√5+3 وقيمته ف. نصف قطر المساعدة لا يمثل إحدى الفتحتين من م.

انقل الفتحتين لتحديد الرؤوس الأربعة

أبقِ مركز القوس عند طرف القطر نفسه؛ انقل إليه المسافة القصيرة ثم الطويلة إلى نقطتَي المساعدة. كل قوس يقطع الدائرة المعطاة في نقطتين. [1]

في مثالنا، لأي نقطة (س،ص) على الأصلية، مربع بعدها عن م هو س²+(ص+6)²=72+12ص، لأن س²+ص²=36. الفتحة ق تحقق ق²=9(6−2√5)=54−18√5؛ لذلك ص=(ق²−72)/12=−1.5(1+√5).

وبالفتحة ف: ف²=54+18√5، فتكون ص=1.5(√5−1). الإحداثي السيني في كل زوج هو ±√(36−ص²). لا نستخدم 3 أو 6 بدل المسافة المنقولة، ولا نغيّر مركز القوس من م إلى و.

نسمي ب=(√(36−ع²)،ع) وهـ=(−√(36−ع²)،ع)، حيث ع=1.5(√5−1). ونسمي ج=(√(36−ح²)،ح) ود=(−√(36−ح²)،ح)، حيث ح=−1.5(√5+1). هذه المواضع الأربعة مع أ=(0،6) تعطي ترتيب المحيط أ ب ج د هـ أ.

راجع الانتظام قبل تسمية الشكل

للخماسي المنتظم خمسة أضلاع متساوية، وزاوية داخلية 108°؛ تساوي عدد الرؤوس وحده لا يثبت الانتظام. [3]

نراجع مثالنا دون قياس الصورة. النقطة أ لها مربع بعد 36 عن و، وللرؤوس الأخرى س²+ص²=(36−ص²)+ص²=36. كل رأس على الدائرة نفسها.

بحساب مربعات الفروق بين كل رأسين متجاورين في الترتيب المحدد، نحصل في الخمس على 18(5−√5)≈49.7508 سم²؛ الجذر نحو 7.0534 سم. هذه مراجعة حسابية للإنشاء، لا افتراض أن كل خماسي داخل دائرة منتظم.

وتران متجاوران متساويان في الدائرة يقابلان زاويتين مركزيتين صغيرتين متساويتين؛ في مثالنا نراجع الضرب الداخلي بين متجهَي كل رأسين متجاورين، فنجد قيمته 9(√5−1). بقسمته على 6×6 يكون جيب التمام (√5−1)/4؛ فتكون الزاوية 72°، وتتكرر خمس مرات لتكمل 360°.

عند كل رأس، الزاوية بين ضلعَيه 108°، ويمكن فحصها من متجهَي الضلعين؛ مجموع الزوايا 5×108=540°. وللمحيط في مثالنا 5√(18(5−√5))≈35.2671 سم. لا نخلط فتحة ف≈9.708 مع ضلع طوله نحو 7.053.

الترتيب الخاطئ والفتحة الواحدة

نقارن وصل الرؤوس كل ثاني رأس: أ ج هـ ب د أ. يتكون مسار نجمي متقاطع بدل الحدود المحيطية. في مثالنا مربع كل وصلة فيه 18(5+√5)≈130.2492 سم²، وطولها نحو 11.4127 سم؛ هذه أقطار بين رؤوس غير متجاورة.

خط أ ج يقطع الخط ب د داخل الشكل. إذن تساوي أطوال وصلات هذا المسار لا يجعله الحدود التي طلبنا إنشاءها. اللوحة الداخلية تعرض الرؤوس نفسها والمقياس نفسه لكي يظهر أثر الترتيب وحده.

وفي خطأ آخر نضع الفتحة 6 سم عند م؛ معادلة القوس س²+(ص+6)²=36. طرح دائرة الأصل س²+ص²=36 يعطي 12ص+36=0، أي ص=−3؛ فيكون س²=27 والنقطتان (±3√3،−3). حصلنا على نقطتين فقط، وموقعاهما يختلفان عن الزوجين الصحيحين.

استعمل الفتحتين الدقيقتين المنقولتين، ثم سمِّ الرؤوس بالتتابع حول الدائرة. الأعداد العشرية مقربة للتحقق؛ لا يبني ضبط 3.708 بدل القيمة الجذرية نسخة دقيقة بالضرورة. عند نصف قطر صفر تنهار الدائرة إلى نقطة؛ هذا ليس خماسيًا. أما تدوير القطر أو انعكاس اختيار س فيحفظ الأطوال والترتيب المحيطي مع إعادة تسمية مناسبة.