رسم سداسي من ضلع معلوم: تقاطع الفتحتين يحدد المركز

ابنِ المركز قبل أن ترسم الدائرة

ثبت الفتحة عند طول الضلع، وارسم من طرفيه قوسين متقاطعين. اختر التقاطع مركزًا، وارسم منه دائرة بالفتحة نفسها. [1]

نصف قطر الدائرة المارة برؤوس السداسي المنتظم يساوي الضلع. [2][3]

نضع في مثال مستقل أ=(0،0) وب=(6،0) سم. نطلب نقطة م تبعد 6 عن الطرفين: س²+ص²=36، و(س−6)²+ص²=36. طرحهما يعطي −12س+36=0، أي س=3. بالتعويض ص²=36−9=27، لذلك ص=±3√3.

نختار م=(3،3√3) للرسم فوق أ ب. بعد م عن أ هو √(9+27)=6، وكذلك عن ب. فتحتنا 6 سم؛ ومعادلة الدائرة الناتجة (س−3)²+(ص−3√3)²=36. م نقطة تبعد عن الضلع 3√3 سم، بينما بعدها عن كل طرف 6 سم؛ هذان طولان مختلفان.

أكمل الرؤوس واحتفظ بالضلع المعطى

بالفتحة نفسها، انقل العلامات حول الدائرة حتى تحصل على ستة رؤوس، منها طرفا الضلع المعطى؛ صل المتتابعين. [1]

لدائرتنا العلوية نرتب الرؤوس أ=(0،0)، ب=(6،0)، ج=(9،3√3)، د=(6،6√3)، هـ=(0،6√3)، و=(−3،3√3). نقطة م=(3،3√3) داخل هذا السداسي؛ لا تدخل في قائمة الرؤوس. الضلع الأخير و أ يغلق المسار، والضلع أ ب الأصلي يبقى أحد الأضلاع.

مربع طول ب ج يساوي (9−6)²+(3√3−0)²=9+27=36. للضلع ج د الفرق (−3،3√3)، فيكون مربع طوله 36 أيضًا. د هـ أفقي طوله 6؛ هـ و وو أ لهما فروق بأجزاء مقدارها 3 و3√3، وطول كل منهما 6. أ ب طوله 6 أصلًا.

تفحص المسافات إلى م أيضًا: عند ج الفرق (6،0)، وعند د الفرق (3،3√3)، وعند هـ الفرق (−3،3√3). مربعاتها 36. تظهر العلامات كلها على الدائرة، لكن وصل م بالرؤوس يقسم الشكل ولا يحول تلك الأشعة إلى أضلاع خارجية.

اكتب أسماء الرؤوس بحسب التتابع قبل تغميق الخطوط. إذا عدت من ب إلى أ في كل نقل، كررت ضلعًا واحدًا بدل اكتشاف الرؤوس الأربعة الباقية. جدول المثال يميز نقاط الدائرة من المركز.

نصف الضلع يعطي تماسًا لا المركز

نجرب في مثال أ ب نفسه فتحة 3 سم. معادلتا دائرتَي التجربة هما س²+ص²=9 و(س−6)²+ص²=9. الطرح يعطي س=3، ثم ص²=9−9=0؛ التقاطع الوحيد ن=(3،0)، وهو منتصف أ ب.

بعد ن عن أ وب هو 3 سم. دائرة مركزها ن ونصف قطرها 3 تمر بالطرفين، لكن أ ب قطر فيها بطول 6. لو أردنا سداسيًا منتظمًا ضلعه 6، لاحتجنا نصف قطر 6؛ هذه الدائرة مختلفة. [3]

للفتحة 2 سم في التجربة، س=3 كذلك، لكن ص²=4−9=−5؛ لا يوجد تقاطع حقيقي. توسيع القوس المرسوم دون زيادة الفتحة لا يغير هذه المعادلة.

ارتفاع المركز الصحيح في مثالنا 3√3≈5.196 سم، لا 3 سم. التقريب يعرض العدد فقط؛ الإنشاء بالقوسين 6 يحدد المركز دون أن نحتاج إلى قياس هذا الارتفاع بالمسطرة.

التقاطع الآخر والفتحة الأخرى ليسا الحالة نفسها

اختيار التقاطع م′=(3،−3√3) بالفتحة الصحيحة 6 يعكس المثال حول أ ب. تتغير إشارات الصادات في ج ود وهـ وو، وتبقى أطوال الأضلاع 6 سم. نستطيع الرسم على أي من الجهتين، مع إبقاء جهة المركز متسقة عبر الإنشاء.

أما تغيير الفتحة إلى 5 سم فيعطي المعادلتين س²+ص²=25 و(س−6)²+ص²=25. نحصل على س=3 وص²=16، أي تقاطعين ع=(3،4) وع′=(3،−4). كلاهما يبعد 5 سم عن أ وب، وليس 6.

إذا رسمنا دائرة مركزها ع ونصف قطرها 5، مرّت بأ وب. لكنها لا تصبح دائرة سداسي منتظم ضلعه 6؛ شرط نصف القطر والضلع لم يتحقق. [3] لا نعالج ذلك بتسمية ع مركزًا صحيحًا لمجرد أنه تقاطع قوسين.

الصورة الداخلية تقارن الفتحات 6 و3 و5 بالمقياس نفسه. دوائرها متمركزة في أ وب لعرض مواضع التقاطع؛ ليست الدائرة النهائية المتمركزة في م. راجع نوع المركز والفتحة، ثم قارن ضلع الإغلاق بالضلع الأصلي. الصور على الشاشة ليست مسطرة لقياس السنتيمترات.