سطح سائل في خزان دوار يرتفع عند الجدار؛ حفظ الحجم يحدد متى يجف المركز. [2]
الخلاصة السريعة
يجف مركز القاع إذا Ω>Ωc، حيث Ωc=√(4gh/R²)، ضمن النموذج الأسطواني دون انسكاب. هذا حد مستنتج من شكل السطح وحفظ الحجم. [2]
- خزان أسطواني مفتوح نصف قطره R>0، وعمق السائل الأول h>0. يدور السائل كجسم صلب حول محور رأسي بسرعة زاوية ثابتة Ω؛ كثافته ρ ثابتة، والجاذبية g>0. نفترض سكونًا نسبيًا، دون انسكاب أو شد سطحي؛ الجدران عالية كفاية. [1]
- r البعد عن المحور وz الارتفاع من القاع؛ الأطوال بالمتر m، وΩ بوحدة rad/s، وg بوحدة m/s². تدرج الضغط ∂p/∂r=ρΩ²r و∂p/∂z=−ρg. الضغط p بالباسكال Pa، والكثافة بوحدة kg/m³. [1]
- ضغط السطح ثابت؛ نكتب zs=c+αr²، حيث α=Ω²/(2g). السطح قطع مكافئ في مقطع يمر بالمحور؛ c ثابت تحدده كمية السائل. صعود السطح نحو الجدار لا يعني زيادة الحجم. [1]
- قبل الجفاف، حفظ الحجم πR²h يعطي c=h−Ω²R²/(4g). ارتفاع السطح عند الجدار h+Ω²R²/(4g). عند Ω=Ωc يلامس السطح القاع في نقطة المحور؛ بعدها لا يصح وصف c السالب بأنه عمق سائل. [1]
- بعد الحد، الجزء المبلل حلقة، ونصف قطر القرص الجاف r0. على الحلقة zs=α(r²−r0²). نستنتج من الحجم: (πα/2)(R²−r0²)²=πR²h؛ لذا r0=√(R²−2R√(gh)/Ω). في الرسم u=Ω/Ωc وd=r0²/R²؛ d=0 قبل الحد وd=1−1/u بعده. [2]
- مثال افتراضي R=1m وh=0.4m وg=10m/s²: Ωc=4rad/s. عند Ω=2rad/s، العمق بالمركز 0.3m وبالجدار 0.5m. عند Ω=8rad/s، r0≈0.707m وارتفاع الجدار 1.6m. الحجم ثابت؛ الحساب لا يصف بدء الدوران وتموجه. [2]
حدد حالة الدوران
خزان أسطواني مفتوح نصف قطره R>0، وعمق السائل الأول h>0. يدور السائل كجسم صلب حول محور رأسي بسرعة زاوية ثابتة Ω؛ كثافته ρ ثابتة، والجاذبية g>0. نفترض سكونًا نسبيًا، دون انسكاب أو شد سطحي؛ الجدران عالية كفاية. [1]
وازن تدرج الضغط
r البعد عن المحور وz الارتفاع من القاع؛ الأطوال بالمتر m، وΩ بوحدة rad/s، وg بوحدة m/s². تدرج الضغط ∂p/∂r=ρΩ²r و∂p/∂z=−ρg. الضغط p بالباسكال Pa، والكثافة بوحدة kg/m³. [1]
اكتب شكل السطح
ضغط السطح ثابت؛ نكتب zs=c+αr²، حيث α=Ω²/(2g). السطح قطع مكافئ في مقطع يمر بالمحور؛ c ثابت تحدده كمية السائل. صعود السطح نحو الجدار لا يعني زيادة الحجم. [1]
افحص عمق المركز
قبل الجفاف، حفظ الحجم πR²h يعطي c=h−Ω²R²/(4g). ارتفاع السطح عند الجدار h+Ω²R²/(4g). عند Ω=Ωc يلامس السطح القاع في نقطة المحور؛ بعدها لا يصح وصف c السالب بأنه عمق سائل. [1]
احفظ الحجم بعد الجفاف
بعد الحد، الجزء المبلل حلقة، ونصف قطر القرص الجاف r0. على الحلقة zs=α(r²−r0²). نستنتج من الحجم: (πα/2)(R²−r0²)²=πR²h؛ لذا r0=√(R²−2R√(gh)/Ω). في الرسم u=Ω/Ωc وd=r0²/R²؛ d=0 قبل الحد وd=1−1/u بعده. [2]
قارن سرعتين
مثال افتراضي R=1m وh=0.4m وg=10m/s²: Ωc=4rad/s. عند Ω=2rad/s، العمق بالمركز 0.3m وبالجدار 0.5m. عند Ω=8rad/s، r0≈0.707m وارتفاع الجدار 1.6m. الحجم ثابت؛ الحساب لا يصف بدء الدوران وتموجه. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.