شروط تشابه المضلعات: الزوايا والأضلاع المتناظرة

الخلاصة السريعة

يتشابه مضلعان عند تساوي الزوايا المتناظرة وتناسب أطوال الأضلاع المتناظرة بنسبة واحدة، مع تثبيت ترتيب التناظر حول الشكلين. ^[1]

• يلزم فحص جميع الزوايا وجميع نسب الأضلاع المتناظرة، لا زوج واحد فقط. ^[1]
• الدوران أو الانعكاس لا يمنع التشابه إذا حافظنا على التناظر الصحيح. ^[1]
• في نموذجنا، مضلع مقياسه ثلاثة أمثال الأصل يعطي أطوالًا بثلاثة أمثالها.
• عند التشابه، نسبة المساحات تساوي مربع نسبة الأطوال. ^[1]
• النسبة 1 تسمح بالتطابق، ولا يشترط اختلاف حجم الشكلين. ^[1]

الزوايا والأضلاع المتناظرة

اكتب أسماء الرؤوس بالتتابع؛ مثل ABCD ~ EFGH. حينئذ يقابل A الرأس E، ويقابل AB الضلع EF، ثم يستمر التناظر على الحدود نفسها. ^[1]

نختار مضلعًا محدبًا بالرؤوس A(0,0)، B(4,0)، C(3,2)، D(0,3). أطوال أضلاعه بالترتيب هي 4، √5، √10، 3.

ننقل نموذجًا مكبرًا منه وفق (x,y) → (10−3x,2+3y). نحصل على E(10,2)، F(−2,2)، G(1,8)، H(10,11). التحويل يضرب الأطوال في 3 ويعكس الجهة الأفقية.

فتصبح أطوال EF و FG و GH و HE هي 12، 3√5، 3√10، 9. كل نسبة جديد إلى أصلي تساوي 3. وبما أن التحويل يحفظ الزوايا، يحقق النموذجان شروط التشابه رغم الانعكاس.

لماذا لا يكفي شرط واحد؟

قارن مستطيلًا 8 في 4 بمستطيل 8 في 3. زواياهما كلها قائمة، لكن نسب الأضلاع في هذا التناظر هي 1 و 3/4؛ لذلك لا يتشابهان.

وفي مثال آخر، مربع طول ضلعه 5 ومعين رؤوسه (0,0)، (5,0)، (8,4)، (3,4). كل ضلع في المعين طوله 5، فتتساوى نسب الأضلاع مع المربع.

مع ذلك، زاوية المعين عند الأصل ليست قائمة: جداء المتجهين (5,0)·(3,4)=15، وليس صفرًا. إذن تساوي الأطوال وحده لم يحقق التشابه في هذين الرباعيين.

هذان المثالان يفسران ضرورة الجمع بين الزوايا والأضلاع في السؤال العام عن المضلعات. اختبارات المثلثات المختصرة لا تنتقل تلقائيًا إلى رباعي بمجرد زيادة ضلع.

معامل التشابه والمحيط والمساحة

عندما يكون معامل الأطوال k، تضرب الأطوال المتناظرة في k وتضرب المساحات في k². وينبغي تثبيت جهة النسبة قبل استعمالها. ^[1]

محيط مضلع ABCD المختار هو 7+√5+√10، ومحيط EFGH هو 21+3√5+3√10؛ الثاني ثلاثة أمثال الأول.

وبطريقة إحداثية، مساحة ABCD هي (8+9)/2=8.5 وحدات مربعة. ومساحة EFGH هي 76.5، فتكون النسبة 76.5/8.5=9، أي مربع 3.

إذا عكسنا المقارنة من الجديد إلى الأصل، تصبح نسبة الأطوال 1/3 ونسبة المساحات 1/9. أما التكبير بمعامل 1 مع نقل أو انعكاس فيعطي نسخة متطابقة؛ فلا يلزم أن يكون أحد الشكلين أكبر من الآخر.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: تشابه المثلثات: معايير التشابه ونسب الأطوال والمساحات.