ضرب الأعداد الكسرية وقسمتها: خطوات وأمثلة محلولة

الخلاصة السريعة

نضرب الكسور بضرب البسطين والمقامين، ونقسم بضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني غير الصفري. وإذا وجد عدد مختلط، نحوله أولًا إلى كسر غير فعلي. ^{[1] [2]}

• ضرب الكسور لا يحتاج توحيد المقامين؛ نبسط العوامل المشتركة. ^[1]
• في القسمة نقلب المقسوم عليه فقط، ويجب ألا يساوي صفرًا. ^[2]
• الأعداد المختلطة الموجبة تتحول إلى كسور غير فعلية قبل الضرب أو القسمة. ^[1]
• ننفذ القسمة المتتابعة من اليسار إلى اليمين ما لم تحدد أقواس غير ذلك. ^[3]
• نتحقق من القسمة بضرب الناتج في المقسوم عليه. ^[2]

ضرب كسرين وتبسيط الحاصل

قاعدة الضرب تجمع البسطين في بسط واحد والمقامين في مقام واحد. يمكن إزالة عوامل مشتركة من البسط والمقام لتبسيط الناتج، مع بقاء المقامات غير صفرية. ولا نطبق طريقة توحيد المقام الخاصة بالجمع هنا. ^{[1] [2]}

في مثالنا، 5/6 × 9/10 = 45/60 = 3/4. يمكن الوصول إلى النتيجة قبل تكبير الأعداد: نقسم 5 و 10 على 5، ونقسم 9 و 6 على 3، فتصبح العملية 1/2 × 3/2 = 3/4. الاختصار بين عوامل مضروبة؛ لم نحذف أرقامًا لمجرد تشابه شكلها.

رسمنا مستطيلًا من عشرة أعمدة وستة صفوف، أي 60 خانة متساوية. اختيار 9 من 10 أعمدة و 5 من 6 صفوف يترك 45 خانة في التقاطع. لذلك يوضح الجزء الملون حاصل 9/10 × 5/6 = 45/60 في مثال أصلي.

ومع عدد صحيح، 7 × 3/14 = 21/14 = 3/2. كتابة 7 على صورة 7/1 تسمح بتنفيذ الحساب نفسه. النتيجة أكبر من الواحد هنا؛ لا نفترض أن كل ضرب فيه كسر يجعل الناتج أصغر من كل عامل.

القسمة ومقلوب المقسوم عليه

مقلوب العدد غير الصفري يعطي معه حاصل ضرب يساوي 1. في قسمة الكسور نبقي المقسوم كما هو ونضربه في مقلوب المقسوم عليه. الصفر ليس له مقلوب، فلا تكون قسمة الكسور عليه معرفة. ^[2]

نختار 7/8 ÷ 14/15. نحسب 7/8 × 15/14 = 105/112 = 15/16. نتحقق بعكس العملية: 15/16 × 14/15 = 14/16 = 7/8. إذا قلبنا 7/8 أيضًا، حصلنا على مسألة أخرى، وفشل هذا الاختبار.

مثال لعدد صحيح مقسوم على كسر: 6 ÷ 4/5 = 6/1 × 5/4 = 15/2. العدد الصحيح هو المقسوم هنا، والكسر 4/5 هو الذي قلبناه. أما 0 ÷ 4/5 = 0 فمسموح؛ المحظور هو جعل المقسوم عليه صفرًا.

اقرأ السؤال قبل اختيار القاعدة: «كم ربعًا في خمسة أرباع؟» يمثله 5/4 ÷ 1/4 = 5. بينما «ربع خمسة أرباع» يمثله 1/4 × 5/4 = 5/16. الأعداد متشابهة، لكن أحد السؤالين عن عدد أجزاء والآخر عن جزء من مقدار.

الأعداد المختلطة وترتيب القسمة

العدد المختلط الموجب يضم جزءًا صحيحًا وكسرًا. نحوله إلى كسر غير فعلي، ثم نستعمل قاعدة الضرب أو القسمة المعتادة. ^[1]

في مثال مستقل، 2 3/5 = 13/5 و 1 1/4 = 5/4. حاصل ضربهما 13/5 × 5/4 = 13/4 = 3 1/4. أما قسمتهما فهي 13/5 ÷ 5/4 = 52/25 = 2 2/25. العملية المطلوبة تغير الجواب رغم ثبات العددين.

الضرب والقسمة في سلسلة دون أقواس ينفذان من اليسار إلى اليمين. نقل الأقواس قد يغير ناتج القسمة، فلا نجمع المقسوم عليهما في كسر واحد بطريقة غير معلنة. ^[3]

نختار 3/4 ÷ 1/2 ÷ 2/3: الخطوة الأولى 3/4 ÷ 1/2 = 3/2، ثم 3/2 ÷ 2/3 = 9/4. أما 3/4 ÷ (1/2 ÷ 2/3)، فقيمته 3/4 ÷ 3/4 = 1. الرسم يضع المسارين جنبًا إلى جنب حتى تظهر وظيفة الأقواس.

تمرين للمراجعة: 4/9 ÷ 2/3 = 2/3. والتحقق 2/3 × 2/3 = 4/9. ثم احسب 4/9 × 2/3 = 8/27. قارِن الجوابين لتتأكد أنك قرأت علامة القسمة أو الضرب قبل البدء.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: أنواع الكسور في الرياضيات وطريقة إجراء العمليات عليها.