طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر

الخلاصة السريعة

المضاعف المشترك الأصغر لأعداد صحيحة موجبة هو أصغر عدد موجب يقبل القسمة عليها جميعًا دون باقٍ. وفي التحليل الأولي نأخذ أكبر أس لكل عامل ظاهر.^[1]

• يمكن سرد المضاعفات حتى تظهر أول قيمة مشتركة.^[2]
• نأخذ كل العوامل الأولية اللازمة، بما فيها العوامل الموجودة في عدد واحد.^[1]
• لعددين موجبين: lcm(a,b) = a × b / gcd(a,b).^[3]
• للثلاثة، نحسب مضاعف أول عددين ثم ندمج الناتج مع الثالث.^[1]
• في مثالنا للأعداد 18 و 28 و 45، المضاعف المشترك الأصغر هو 1260.

سرد المضاعفات أم التحليل الأولي؟

في السرد نكتب مضاعفات كل عدد بالترتيب، ثم نختار أول عدد مشترك. ويتيح التحليل الأولي حساب النتيجة بدل إطالة القوائم.^[2]

في مثال العددين 8 و 14، تبدأ قائمة 8 بالقيم 8، 16، 24، 32، 40، 48، 56، وتبدأ قائمة 14 بالقيم 14، 28، 42، 56. أول قيمة مشتركة هي 56.

إذا كانت القوائم طويلة، نكتب عوامل الأعداد، ثم نختار أكبر أس لكل عامل. فالقيمة الناتجة تحتوي العدد الكافي من كل عامل للقسمة على جميع الأعداد، دون عوامل زائدة.^[1]

مثال على المضاعف المشترك لثلاثة أعداد

نختار من الجدول 2² و 3² و 5 و 7. حاصل الضرب: 4 × 9 × 5 × 7 = 1260. لا نشترط أن يوجد العامل في كل صف؛ فالعامل 5 مطلوب للعدد 45، والعامل 7 مطلوب للعدد 28.

نختبر المثال: 1260 ÷ 18 = 70، و 1260 ÷ 28 = 45، و 1260 ÷ 45 = 28. ولن يمكن حذف أي عامل مختار أو إنقاص أسه دون فقد القابلية للقسمة على أحد الأعداد.

ضرب الأعداد الثلاثة مباشرة يعطي 18 × 28 × 45 = 22680؛ وهو مضاعف مشترك، لكنه أكبر من 1260. الغرض هو الوصول إلى الأصغر، لا إلى أي قيمة مشتركة.

استخدام القاسم المشترك الأكبر

علاقة حاصل الضرب بالقاسم الأكبر تخص عددين. وعند وجود ثلاثة أعداد نطبق الحساب بالتتابع، بدل قسمة حاصل ضربها على قاسمها المشترك دفعة واحدة.^[3][1]

في المثال السابق، قاسم 18 و 28 هو 2؛ إذن مضاعفهما الأصغر 18 × 28 ÷ 2 = 252. قاسم 252 و 45 هو 9، ومنه 252 × 45 ÷ 9 = 1260.

تعطي المحاولة 18 × 28 × 45 ÷ 1 = 22680 قيمة خاطئة للأصغر، رغم أن قاسم الأعداد الثلاثة هو 1. اختلاف النتيجة يوضح لماذا نحتفظ بحساب العددين ثم نكرر الخطوة.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: تحليل العدد إلى عوامله الأولية بشجرة العوامل والقسمة المتتابعة.