ظاهرة كومبتون: كيف نحسب تغير الطول الموجي؟

الخلاصة السريعة

تُحسب إزاحة كومبتون من زاوية تشتت الفوتون وفق نموذج إلكترون حر ساكن ابتدائيًا. ^[1]

• ينقل الفوتون بعض طاقته وزخمه إلى الإلكترون في التشتت غير الصفري. ^[1]
• المعادلة هي Δλ = λc(1 − cos θ)، والزاوية بين اتجاهي الفوتون قبل التشتت وبعده. ^[1]
• ثابت الإلكترون λc ≈ 2.426 pm؛ البيكومتر يساوي 10⁻¹² m. ^[2]
• في مثال λ = 40.0 pm و θ = 60°، تكون الإزاحة نحو 1.213 pm والطول النهائي 41.213 pm.
• الإزاحة صفر عند 0°، وتبلغ حدها الأقصى 2λc عند 180° في هذا النموذج. ^[1]

ماذا يحدث للفوتون؟

في التشتت غير الصفري يكتسب الإلكترون طاقة وزخمًا، ويخرج الفوتون بطاقة أقل وطول موجي أكبر. طاقة النظام وزخمه محفوظان. نفترض إلكترونًا حرًا ساكنًا ابتدائيًا. ^[1]

معادلة إزاحة كومبتون ووحداتها

نكتب Δλ = λ′ − λ = λc(1 − cos θ). الرمز λ′ للطول بعد التشتت، و λ للطول قبله. هنا تتحدد الإزاحة بالزاوية. ^[1]

القيمة المنشورة لدى NIST هي λc = 2.42631023538 × 10⁻¹² m؛ نستخدم هنا تقريبًا من ثلاثة أرقام عشرية بالبيكومتر. ^[2]

مثال محلول عند زاوية 60 درجة

نختار فوتونًا بطول موجي 40.0 pm وزاوية تشتت 60°. نحسب أولًا cos 60° = 0.5، ثم نضرب 2.42631023538 × (1 − 0.5)، فنحصل على 1.21315511769 pm.

هذا العدد مقدار الزيادة، وليس الطول الموجي الجديد. نجمعه مع 40.0 فنجد λ′ = 41.21315511769 pm، أي نحو 41.213 pm. ويمكن التحقق بعكس العملية: طرح الطول الساقط من الطول النهائي يعيد الإزاحة نفسها.

كيف تتغير النتيجة عند تغيير الزاوية؟

حساب الصف الأخير هو 40 + 2 × 2.42631023538. وفي الصف الأوسط عند 90° يصبح عامل الزاوية واحدًا. لذلك تُراجع الزاوية والوحدات قبل مقارنة جوابين، ثم يُفصل مقدار الزيادة عن القيمة النهائية.

هذه الحدود ناتجة عن −1 ≤ cos θ ≤ 1؛ لا تُنقل المعادلة دون مراجعة افتراض الإلكترون الساكن. ^[1]