عدد المثلثات من ضلعين ومساحة يتوقف على مقدار المساحة. نبني الحلين، ونثبت اختلاف الضلع الثالث، ثم نفحص الحد الذي يجعلهما مثلثًا واحدًا. [1][2]
الخلاصة السريعة
يوجد مثلثان غير متطابقين إذا كانت المساحة موجبة وأقل من نصف حاصل ضرب الضلعين؛ عند الحد الأعلى يوجد مثلث واحد قائم. [1][2]
- نبحث مثلثًا إقليديًا غير منعدم. الضلعان a>0 وb>0 يلتقيان عند الزاوية θ، وS مساحة دقيقة؛ الأطوال بوحدة واحدة. نعد الأشكال حتى التطابق، فلا يزيد الانعكاس أو النقل عدد الحلول. [1]
- القانون S=(ab/2)sinθ، حيث 0°<θ<180°. لذلك يلزم 0<S≤ab/2. بين الحدين تعطي النسبة q=2S/(ab) زاويتين: α=arcsin(q) و180°−α؛ α حادة. sin هو الجيب، لا جيب التمام. [1]
- لإثبات الكفاية، ضع A=(0,0) وB=(a,0) وC=(x,y)، مع y=2S/a>0. شرط AC=b يعطي x²=b²−y². إذا 0<S<ab/2 فهناك موضعان x=±√(b²−y²)؛ كلاهما يبني مثلثًا مساحته S. [2]
- الضلع الثالث c=BC يحقق c²=(x−a)²+y²=a²+b²−2ax. اختلاف إشارتي x غير الصفري يغير c، فيثبت عدم التطابق. وبالتعويض: c²=a²+b²∓2√(a²b²−4S²). نأخذ الجذر الموجب للطول. [2]
- مثال مؤلف: a=10cm وb=13cm وS=60cm²؛ نجد y=12cm وx=±5cm. عند x=5cm نحصل على c=13cm؛ وعند x=−5cm على c=3√41cm. التحقق 10×12/2=60 يعيد المساحة في الحالتين. cm سنتيمتر، وcm² سنتيمتر مربع. [2]
- للضلعين نفسيهما الحد الأعلى 65cm²: عند S=65cm² يكون x=0 وθ=90° وc=√269cm، فيبقى شكل واحد. S=66cm² مستحيلة، وS=0 حالة منعدمة مستبعدة؛ كذلك لا نقبل مساحة سالبة. تحقّق من المجال قبل الجيب العكسي. [1]
حدد ما تعنيه الحلول المختلفة
نبحث مثلثًا إقليديًا غير منعدم. الضلعان a>0 وb>0 يلتقيان عند الزاوية θ، وS مساحة دقيقة؛ الأطوال بوحدة واحدة. نعد الأشكال حتى التطابق، فلا يزيد الانعكاس أو النقل عدد الحلول. [1]
استخرج الزاوية وافحص المجال
القانون S=(ab/2)sinθ، حيث 0°<θ<180°. لذلك يلزم 0<S≤ab/2. بين الحدين تعطي النسبة q=2S/(ab) زاويتين: α=arcsin(q) و180°−α؛ α حادة. sin هو الجيب، لا جيب التمام. [1]
ابنِ موضعي الرأس
لإثبات الكفاية، ضع A=(0,0) وB=(a,0) وC=(x,y)، مع y=2S/a>0. شرط AC=b يعطي x²=b²−y². إذا 0<S<ab/2 فهناك موضعان x=±√(b²−y²)؛ كلاهما يبني مثلثًا مساحته S. [2]
تحقق من اختلاف الضلع الثالث
الضلع الثالث c=BC يحقق c²=(x−a)²+y²=a²+b²−2ax. اختلاف إشارتي x غير الصفري يغير c، فيثبت عدم التطابق. وبالتعويض: c²=a²+b²∓2√(a²b²−4S²). نأخذ الجذر الموجب للطول. [2]
احسب المثال في الحالتين
مثال مؤلف: a=10cm وb=13cm وS=60cm²؛ نجد y=12cm وx=±5cm. عند x=5cm نحصل على c=13cm؛ وعند x=−5cm على c=3√41cm. التحقق 10×12/2=60 يعيد المساحة في الحالتين. cm سنتيمتر، وcm² سنتيمتر مربع. [2]
اختبر المساواة وعدم الوجود
للضلعين نفسيهما الحد الأعلى 65cm²: عند S=65cm² يكون x=0 وθ=90° وc=√269cm، فيبقى شكل واحد. S=66cm² مستحيلة، وS=0 حالة منعدمة مستبعدة؛ كذلك لا نقبل مساحة سالبة. تحقّق من المجال قبل الجيب العكسي. [1]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.