قانون القاطع والمماس: اضرب الجزء الخارجي في الطول الكامل

اكتب الطول الكامل قبل أن تختار القانون

للنقطة الخارجية ن، يقاطع الشعاع الدائرة أولًا عند أ ثم عند ب. إذا كانت ن ت قطعة مماس، فن ت²=ن أ×ن ب. هذه علاقة بين مربع طول وحاصل ضرب طولين. [1]

ن ب=ن أ+أ ب لأن أ بين ن وب. لا نستبدل الكامل ن ب بالجزء الداخلي أ ب. [1]

نختار دائرة س²+ص²=25، مركزها و=(0،0) ونصف قطرها5 سم، والنقطة ن=(13،0) خارجها. القاطع الأفقي المتجه يسارًا يلتقيها عند أ=(5،0) ثم ب=(−5،0).

الفروق الأفقية تعطي ن أ=13−5=8 سم، وأ ب=5−(−5)=10 سم، ون ب=13−(−5)=18 سم. إذن8+10=18؛ طول ن ب لا يتوقف عند المركز و.

نحسب8×18=144 سم²، فطول قطعة المماس هو الجذر الموجب12 سم. أما8×10=80 سم² فيعطي4√5≈8.944 سم عند أخذ الجذر؛ هذا خطأ في اختيار القطعة، وليس خطأ تقريب للعدد12.

اكتب الوحدات بجانب كل خانة. إذا كانت الأجزاء معطاة بوحدات مختلفة، حولها أولًا إلى وحدة مشتركة. حاصل ضرب سم في سم يعطي سم²، ثم يعيد الجذر وحدة سم.

تحقق من نقطة التماس في المثال نفسه

نصف القطر الواصل إلى نقطة التماس عمودي على المماس. [2]

نضع ت=(25/13،60/13) سم. مربع بعدها عن و هو(625+3600)/169=4025/169=25؛ إذن ت على دائرة المثال. المتجه و ت=(25/13،60/13)، ومن ت إلى ن المتجه ت ن=(144/13،−60/13).

حاصل الضرب الداخلي يساوي(25×144−60×60)/169=0، فتتحقق الزاوية القائمة. مربع طول ت ن=(144²+60²)/169=24336/169=144، فيكون الطول12 سم كما وجدنا من القاطع.

مثلث و ت ن قائم عند ت؛ في المثال و ن²−و ت²=169−25=144. يتيح هذا الحساب مراجعة مستقلة باستعمال المركز، بينما حساب8×18 بدأ من تقاطعي القاطع. لا نأخذ طولًا بقياس الصورة ثم نسميه دليلًا.

للتماس السفلي نستبدل60/13 بإشارته السالبة؛ يبقى مربع بعد النقطة عن المركز25 ومربع طول قطعتها إلى ن144. يختلف موضع التماس، ويظل طول القطعة12 سم في المثال.

معادلة المستقيم العلوي5س+12ص=65؛ تتحقق ن لأن5×13=65، وتتحقق ت لأن(125+720)/13=65. التعويض ص=(65−5س)/12 في الدائرة يعطي(13س−25)²=0، فلا تظهر نقطة تقاطع ثانية مختلفة.

قاطع مائل: الأطوال تتغير وحاصل الضرب يبقى144

نستعمل الدائرة والنقطة ن نفسيهما ونغير اتجاه القاطع. نكتب نقطة الخط بصيغة(13−5ع،2ع)، حيث ع معامل موضع لا طول بالسم. عند ع=0 نكون في ن.

التعويض في س²+ص²=25 يعطي29ع²−130ع+144=0. المميز130²−4×29×144=196، وجذره14؛ الحلان(130−14)/58=2، و(130+14)/58=72/29.

الحلان موجبان و2<72/29؛ إذن التقاطعان على الشعاع المتجه من ن إلى الدائرة. القريب ق عند ع=2 هو(3،4)، والبعيد ف عند ع=72/29 هو(17/29،144/29).

راجع ف على الدائرة: (17²+144²)/29²=(289+20736)/841=21025/841=25. ق تحققها أيضًا لأن3²+4²=25. الخط المائل لا يمر بالمركز؛ المعادلة ص=(2/5)(13−س) تعطي26/5 عند س=0.

طول متجه الاتجاه(−5،2) هو√29، لذا ن ق=2√29≈10.770 سم، ون ف=(72/29)√29=72/√29≈13.370 سم. حاصل ضربهما2√29×72/√29=144 سم² بالضبط.

الجزء الداخلي ق ف=(72/29−2)√29=14/√29≈2.600 سم. ضرب الخارجي في الداخلي يعطي2√29×14/√29=28 سم²؛ ليس144. يتكرر خطأ اختيار القطعة رغم تغير زاوية القاطع.

احتفظ بالجذور حتى نهاية الحساب؛ حاصل الضرب الدقيق واضح قبل تقريب10.770 و13.370. الصورة الثانية تعرض القاطع المائل ومقارنة الطولين مع القاطع الأفقي، دون استنتاج مسافات جديدة من البكسلات.

المساواة وحدها لا تكفي إذا اخترت نهاية خارج المحيط

إذا كانت نهاية القطعة على الدائرة، وكان مربع طولها من النقطة الخارجية مساويًا لحاصل ضرب الخارجي والكامل لقاطع منها، فالقطعة مماس. شرط النهاية على الدائرة جزء من عكس العلاقة. [3]

نختار هـ=(13،12) سم. ن هـ=12 سم، ومربعه144 سم²، مساويًا لحاصل8×18. لكن و هـ²=13²+12²=313، وليس25؛ هـ خارج الدائرة. المستقيم ن هـ هو س=13 ولا يلتقي دائرة س²+ص²=25 أصلًا.

لذلك لا يكفي رسم قطعة بطول12 في أي اتجاه من ن. ابدأ بفحص النهاية على المحيط، ثم راجع العلاقة. في ت=(25/13،60/13) اجتمع الشرطان، وفي هـ لم يجتمعا.

نغير نقطة البداية إلى ك=(3،0) داخل دائرة المثال. إلى أ=(5،0) المسافة2، وإلى ب=(−5،0) المسافة8، لكنهما في اتجاهين متعاكسين من ك؛ لا يحققان ترتيب الخارج والقريب والبعيد على شعاع واحد.

المقادير غير الموجهة2×8=16 سم² لا تجعل4 سم طول مماس من ك. لو كان لدينا مثلث قائم يضم نصف قطر5 ووترًا من ك إلى و طوله3، لاحتجنا مربع طول آخر3²−5²=−16؛ مجموع مربعين حقيقيين لا يعطي هذا الوضع.

في ورقة الحل، سجل: موقع ن بالنسبة للدائرة، والقريب أ، والبعيد ب، والطول الكامل ن ب، ثم الجذر الموجب. عند التحقق من قطعة مرشحة، أضف خانة تثبت أن نهايتها على المحيط. هذا يمنع تبديل أسماء القطع واستعمال شرط ناقص.