قانون بلانك: كيف يتوزع إشعاع الجسم الأسود؟

الخلاصة السريعة

قانون بلانك يصف التوزيع الطيفي لإشعاع جسم أسود في توازن حراري عند درجة حرارة محددة. الجسم الأسود نموذج يمتص الإشعاع الوارد كله؛ وعند التوازن يتساوى معدل الامتصاص والانبعاث. صيغة القانون ووحدته تتبعان تعريف الكمية الطيفية. ^[1]

• للإشعاعية الطيفية بدلالة الطول الموجي: Bλ = (2hc²/λ⁵)/(exp(hc/(λkBT))−1)؛ λ بالمتر و T بالكلفن، والوحدة W m⁻² sr⁻¹ m⁻¹. والقدرة الطيفية المنبعثة إلى نصف الفضاء من وحدة سطح الجسم الأسود هي Mλ = πBλ. ^[2]
• للعرض لكل ميكرومتر، نضرب قيمة Bλ المعبر عنها لكل متر في 10⁻⁶.
• عند 500 و 750 كلفن تقع قمتا تمثيل الطول الموجي عند نحو 5.796 و 3.864 ميكرومتر في المثال.
• بدلالة التردد: Bν = (2hν³/c²)/(exp(hν/(kBT))−1)، بوحدة W m⁻² sr⁻¹ Hz⁻¹. العلاقة Bλ = (c/λ²)Bν تحفظ الطاقة في الفاصل المقابل؛ ولذلك ليست قمة Bν مجرد c/λmax لقمة Bλ. ^[2]
• المنحنيان حسابان لنموذج مثالي، لا قياسان لمادة أو لون مرئي محدد.

أي كمية تصفها المعادلة؟

للإشعاعية الطيفية بدلالة الطول الموجي: Bλ = (2hc²/λ⁵)/(exp(hc/(λkBT))−1)؛ λ بالمتر و T بالكلفن، والوحدة W m⁻² sr⁻¹ m⁻¹. والقدرة الطيفية المنبعثة إلى نصف الفضاء من وحدة سطح الجسم الأسود هي Mλ = πBλ. ^[2]

في الحساب نستخدم h = 6.62607015×10⁻³⁴ J s، و c = 299792458 m/s، و kB = 1.380649×10⁻²³ J/K؛ هذه قيم معرفة بدقة في النظام الدولي. ^[3][4][5]

اختلاف وجود π في صيغة منشورة يستدعي قراءة تعريف الكمية. رسمنا اختار Bλ؛ لذلك لم نستبدلها بقيمة Mλ، ولم نخلط وحدتيهما على المحور. سجل الحساب يكتب التعريف والمعطيات قبل الناتج.

وعندما نعرض Bλ لكل ميكرومتر، نضرب القيمة المعبر عنها لكل متر في 10⁻⁶. فالحزمة ذات العرض 1 ميكرومتر عرضها 10⁻⁶ متر؛ هذه إعادة كتابة للفاصل نفسه، وليست تغييرًا لطاقة الإشعاع.

منحنيان محسوبان عند 500 و 750 كلفن

لقمة تمثيل الطول الموجي λmax = b/T، حيث b ≈ 2.897771955×10⁻³ m K. ^[6]

اخترنا درجتي حرارة 500 و 750 كلفن. القسمة تعطي قمتين عند نحو 5.79554 و 3.86370 ميكرومتر. مقدار الثانية ثلثا الأولى لأن 500/750 = 2/3؛ هذه الأرقام حساب للنموذج وليست قياسًا لنوع من الأسطح.

الرسم الداخلي يحسب Bλ على محور يمتد من 1 إلى 16 ميكرومتر، ويضع القمتين عند موضعيهما المحسوبين. اللون الأخضر يميز منحنى 500 كلفن، والبرتقالي منحنى 750؛ هما لونان للمقارنة البصرية، لا لونان مرئيان لجسمين.

عند 5 ميكرومتر يمكن حساب قيمة لكل منحنى من المعادلة نفسها؛ لا يكفي أن نقرأ موضع القمة لنستنتج القيمة عند كل طول موجي. لذلك احتفظنا بمنحنى كامل داخل المجال المعروض، لا برقم قمة وحيد.

هذه مقارنة داخل نموذج الجسم الأسود. عند استخدام بيانات لمادة حقيقية، يجب مراجعة مدى ملاءمة النموذج لها؛ لا نسمّي الرسم تقريرًا عن معدن أو نجم محدد، لأننا لم ندخل بيانات مادة أو رصد.

لماذا تختلف القمة عند تغيير المحور؟

بدلالة التردد: Bν = (2hν³/c²)/(exp(hν/(kBT))−1)، بوحدة W m⁻² sr⁻¹ Hz⁻¹. العلاقة Bλ = (c/λ²)Bν تحفظ الطاقة في الفاصل المقابل؛ ولذلك ليست قمة Bν مجرد c/λmax لقمة Bλ. ^[2]

تحويل الكثافة الطيفية يرافق تحويل عرض الفاصل. ^[2]

في مثالنا لا نضع منحنى تردد فوق منحنى طول موجي على وحدة رأسية واحدة. لو أردنا مقارنة أخرى، سنعرّف فواصلها ووحدتها ونحسب Bν مستقلًا. بهذا يبقى الاختلاف بين موضعَي القمة مفهومًا، بدل تفسيره كوجود إشعاعين متناقضين.