قانون جاوس: الشحنة المحصورة والتدفق الكهربائي

الخلاصة السريعة

قانون جاوس الكهربائي هو Φ = Qenc / ε₀ عبر سطح مغلق، مع اتجاه المساحة إلى الخارج. ^[1]

• نحسب صافي الشحنات داخل السطح وحدها؛ الشحنات الخارجية قد تؤثر في المجال عليه. ^[1]
• شحنتا +7 nC و −2 nC تعطيان +5 nC محصورة، وتدفقًا يقارب 565 N·m²/C.
• لا يكفي التدفق وحده لمعرفة المجال عند كل نقطة؛ التناظر المناسب يجعل استخراج المجال أسهل. ^[2]
• التدفق الكهربائي الصفري لا يثبت انعدام المجال على السطح. ^[1]
• التدفق المغناطيسي الصافي عبر سطح مغلق يساوي صفرًا؛ ولا يعني ذلك انعدام المجال المغناطيسي نفسه. ^[3]

ما المقصود بالسطح والشحنة المحصورة؟

السطح الجاوسي حد مغلق نختاره للحساب، وقد يكون تخيليًا. تجمع الشحنات داخله بإشاراتها؛ الموجب والسالب يتقاصان. أما المجال في تكامل التدفق فهو المجال الكلي، بما فيه أثر الشحنات الخارجية. ^[1]

مثال على جمع الشحنات وحساب التدفق

في الرسم نضع +7 nC و −2 nC داخل الحد، و +9 nC خارجه. المجموع المطلوب هو 7 − 2 = 5 nC، لا 7 − 2 + 9. وبالتحويل إلى الكولوم نحصل على 5 × 10⁻⁹ C.

نستخدم ε₀ ≈ 8.854 × 10⁻¹² F/m وفق قيمة سماحية الفراغ المنشورة. ^[4]

القسمة 5 × 10⁻⁹ / (8.854 × 10⁻¹²) تعطي نحو 564.717، أي 565 N·m²/C بالتقريب. ولو استبدلنا الشحنة الأولى بـ +2 nC لأصبح الصافي صفرًا؛ هذه نتيجة جمع الشحنات في المثال.

متى نحصل على المجال من التدفق؟

عند وجود تناظر مناسب يمكن اختيار سطح تكون عليه قيمة المجال معلومة التوزيع، وتبسيط التكامل. لشحنة نقطية مركزية معزولة وسطح كروي، Φ = E × 4πr². لا يصح افتراض ثبات المجال على أي سطح عشوائي. ^[2]

نقارن في الرسم كرة نصف قطرها r بأخرى نصف قطرها 2r. مساحة الثانية أربعة أمثال الأولى؛ ومع ثبات الشحنة المحصورة يكون التدفق نفسه، فتكون قيمة المجال عليها ربع الأولى. ^[2]

هل صفر التدفق يعني صفر المجال؟

لا؛ فقد تدخل خطوط مجال إلى السطح وتخرج منه بمحصلة صفرية، بينما يكون المجال المحلي غير صفري. الشحنات خارج السطح لا تزيد الشحنة المحصورة، لكنها لا تختفي من حساب المجال. ^[1]

لتجنب الخلط في الحل، اكتب اسم المطلوب قبل التعويض: هل تبحث عن تدفق السطح كله أم عن المجال عند نقطة؟ في مثال الشحنات السابق كان المطلوب الأول، لذلك لم نحتج إلى إحداثيات النقطة الخارجية.

ما الفرق عن قانون جاوس للمغناطيسية؟

الصيغة المغناطيسية هي ∮ B·dA = 0: محصلة التدفق عبر سطح مغلق صفر. وهي لا تقول إن المجال المغناطيسي نفسه صفر في كل موضع. ^[3]