مبرهنة طاليس في الدائرة: القطر والزاوية القائمة

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة طاليس في الدائرة على أن المثلث الذي أحد أضلاعه قطر، ورأسه الثالث نقطة أخرى على المحيط، قائم عند هذا الرأس الثالث.^[1]

• يجب أن يكون الضلع قطرًا يمر بالمركز، وأن تكون رؤوس المثلث ثلاث نقاط متميزة على المحيط.^[1]
• برهانها يعتمد على تساوي أنصاف الأقطار وتساوي زاويتي قاعدة كل مثلث متساوي الساقين.^[2]
• عكسها: إذا كانت زاوية مثلث مرسوم في دائرة قائمة، كان الضلع المقابل لها قطرًا.^[1]
• في مثالنا أ=(−5، 0)، ب=(5، 0)، ج=(3، 4)، الزاوية أج ب قائمة، ونصف قطر الدائرة 5.
• المبرهنة هنا تخص الدائرة؛ ولا نستبدلها بقاعدة التناسب بين القطع التي تعرف أيضًا باسم طاليس.

أي زاوية تكون قائمة، وما الشروط؟

عند اختيار أ وب طرفي قطر، وج نقطة على محيط الدائرة تختلف عنهما، تكون الزاوية أجب هي القائمة. الزاوية تقع عند ج، ويقابلها القطر أب، لا نصف قطر منفرد.^[1]

لا يكفي أن نصل ثلاث نقاط على المحيط؛ إذا كان أب وترًا لا يمر بالمركز، فلا يحقق شرط القطر. كما أن اختيار ج=أ أو ج=ب لا يصنع مثلثًا.

نقصر استعمال الاسم في هذا المقال على الزاوية في نصف الدائرة. كلمة «نصف» هنا تتعلق بالقطر والقوس المقابل له، وليست أمرًا بتقسيم أي ضلع إلى نصفين.

برهان مبرهنة طاليس بأنصاف الأقطار

لتكن م مركز الدائرة، ونصل م بج. لدينا مأ=مج، وكذلك مب=مج؛ فالمثلثان أمج وبمج متساويا الساقين.^[2]

نسمي زاويتي أمج عند أ وج α، وزاويتي بمج عند ب وج β. الزاوية عند ج في المثلث الكبير تجمع α وβ، بينما زاويتاه عند أ وب هما α وβ. مجموع زواياه يساوي 2α+2β=180°، ومنه α+β=90°.^[2]

في رسمنا الإحداثي، تحقق ج=(3، 4) المعادلة 3²+4²=25، فتقع على دائرة مركزها الأصل ونصف قطرها 5. ونقطتا أ وب على المحور الأفقي، والمسافة بينهما 10، أي قطر.

متجها جأ وجب هما (−8، −4) و(2، −4). حاصل الضرب الداخلي −8×2+(−4)×(−4)=0؛ تحقق حسابي مستقل يوافق الزاوية القائمة في الرسم، ولا يحل محل شروط المبرهنة.

عكس المبرهنة وموقع مركز الدائرة

العكس يبدأ من زاوية قائمة في مثلث رؤوسه على دائرة، وينتهي إلى أن الضلع المقابل قطر. وبذلك يكون مركز تلك الدائرة منتصف وتر المثلث القائم.^[1]

في المثال السابق منتصف أ وب هو (0، 0). تبعد هذه النقطة 5 وحدات عن أ، و 5 عن ب، و 5 عن ج؛ فتتفق الأطوال مع الدائرة المختارة.

إذا احتجنا قطرًا من زاوية مرسومة عند المحيط، نتحقق أولًا أنها قائمة. أما مجرد وجود زاوية داخل دائرة، أو شكل يبدو قائمًا، فلا يكفي لتطبيق العكس.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: الدائرة ومحيطها: الأجزاء والقوانين وأمثلة على القوس والقطاع.