داخل قشرة كروية: لماذا ينعدم المجال ولا ينعدم الجهد؟

داخل قشرة كروية منتظمة ينعدم مجالها، لكن جهدها بالنسبة إلى اللانهاية يبقى سالبًا. [1][2]

الخلاصة السريعة

الجهد ثابت داخل القشرة؛ المجال يعتمد على تغير الجهد، لا على قيمته وحدها. [2]

قشرة كتلة كروية رقيقة منتظمة وثابتة؛ داخلها فارغ. نحسب مجال القشرة وحدها وفق نيوتن، مع كتلة اختبار مهملة التأثير. نهمل الدوران والحواجز المادية عند حساب فروق الطاقة. [1]
R>0 نصف القطر، وr≥0 البعد عن المركز بالمتر؛ μ=GM>0 بوحدة m³/s². نختار Φ(∞)=0: داخلها Φ=−μ/R وخارجها Φ=−μ/r؛ Φ بوحدة J/kg، والطاقة U=mΦ بالجول لكتلة m بالكيلوغرام. [2]
المركبة الشعاعية gr=−dΦ/dr موجبة للخارج: gr=0 عند r<R، وgr=−μ/r² عند r>R، بوحدة m/s². الجهد متصل عند r=R، لكن للمجال حدان مختلفان؛ لا نعيّن قيمة سطحية واحدة. [2]
لطاقتي حركة طرفيتين متساويتين: Wext=m(Φf−Φi)، وشغل الجاذبية −ΔU. داخليًا الشغل صفر؛ إلى اللانهاية −Uinitial. إضافة ثابت لا تغير الفروق أو المجال. [2][3]
مثال مؤلف: μ=8m³/s²,R=2m,m=2kg. عند r=0.5m و1.5m: Φ=−4J/kg,U=−8J,gr=0؛ الشغل بينهما صفر وإلى اللانهاية 8J. عند r=4m: Φ=−2J/kg,U=−4J,gr=−0.5m/s²؛ الباقي إلى اللانهاية 4J. النقل من الداخل إلى 4m يتطلب 4J. إضافة 4J/kg تعطي داخليًا صفرًا وعند اللانهاية 4J/kg؛ يبقى الشغل 8J. لا عبور لجدار حقيقي. [1][3]

ثبت نموذج القشرة

قشرة كتلة كروية رقيقة منتظمة وثابتة؛ داخلها فارغ. نحسب مجال القشرة وحدها وفق نيوتن، مع كتلة اختبار مهملة التأثير. نهمل الدوران والحواجز المادية عند حساب فروق الطاقة. [1]

الكتلة موزعة على السطح؛ هذه ليست كرة مصمتة مملوءة بالكتلة. [1]

اختر الصفر والوحدات

R>0 نصف القطر، وr≥0 البعد عن المركز بالمتر؛ μ=GM>0 بوحدة m³/s². نختار Φ(∞)=0: داخلها Φ=−μ/R وخارجها Φ=−μ/r؛ Φ بوحدة J/kg، والطاقة U=mΦ بالجول لكتلة m بالكيلوغرام. [2]

نستخدم المرجع نفسه لجميع المواضع؛ السالب هنا مرتبط باختيار الصفر عند اللانهاية. [2]

اقرأ ميل الجهد

المركبة الشعاعية gr=−dΦ/dr موجبة للخارج: gr=0 عند r<R، وgr=−μ/r² عند r>R، بوحدة m/s². الجهد متصل عند r=R، لكن للمجال حدان مختلفان؛ لا نعيّن قيمة سطحية واحدة. [2]

المجال صفر في كامل الداخل، لا عند المركز وحده. عند السطح يبقى الجهد −μ/R؛ ميله يتغير. [2]

افصل الشغل عن القيمة

لطاقتي حركة طرفيتين متساويتين: Wext=m(Φf−Φi)، وشغل الجاذبية −ΔU. داخليًا الشغل صفر؛ إلى اللانهاية −Uinitial. إضافة ثابت لا تغير الفروق أو المجال. [2][3]

يتغير الصفر المرجعي؛ يبقى فرق الطاقة ثابتًا. [3]

افحص مواضع داخلية وخارجية

مثال مؤلف: μ=8m³/s²,R=2m,m=2kg. عند r=0.5m و1.5m: Φ=−4J/kg,U=−8J,gr=0؛ الشغل بينهما صفر وإلى اللانهاية 8J. عند r=4m: Φ=−2J/kg,U=−4J,gr=−0.5m/s²؛ الباقي إلى اللانهاية 4J. النقل من الداخل إلى 4m يتطلب 4J. إضافة 4J/kg تعطي داخليًا صفرًا وعند اللانهاية 4J/kg؛ يبقى الشغل 8J. لا عبور لجدار حقيقي. [1][3]

الشغل الداخلي صفر؛ الخارجي موجب. المجموع ليس صفرًا. [3]

الشغل الخارجي من موضع داخلي — أصلي: البداية `r/R=1/4`، و`ΔK=0` بين الطرفين؛ الرأسي `Wext/(μm/R)` والأفقي حد اللانهاية `1`. لا عبور لجدار. [3][4]

المراجع

الجاذبية خارج النموذج الكروي

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.