ضع إحدى عشرة بطاقة مرقمة في حلقة، ثم عد حتى أربعة واحذف البطاقة الرابعة. تبدو البداية سهلة: نحذف 4، ثم 8. لكن ماذا يحدث حين نعود إلى أول الحلقة، وقد خرجت بطاقات منها؟ سنفحص نموذجًا محددًا خطوة خطوة، ونميز رقم البطاقة الثابت عن دورها في العد الحالي.
الخلاصة السريعة
مع البطاقات 1 إلى 11 مرتبة حول الحلقة، والبدء من 1 مع عقارب الساعة وحذف كل رابع، تبقى البطاقة 9. ترتيب الحذف هو (4,8,1,6,11,7,3,2,5,10). بعد كل حذف نبدأ عدًا جديدًا من البطاقة التالية الباقية، ونحسبها الأولى.
- في مسألة جوزيفوس، نرتب الأرقام في دائرة ونحذف كل رقم يصل إليه العد المحدد. نعيد العد من التالي بعد المحذوف، ونتوقف حين يبقى رقم واحد. [1]
- في مثالنا، اتجاه المرور مع عقارب الساعة، وبداية العد الأولى البطاقة 1. نعد البطاقة الحالية «واحدًا»؛ للوصول إلى الرابعة ننتقل ثلاث مرات، لا أربعًا.
- الحذفان الأولان 4 و 8، لكن الثالثة 1: العد الثالث هو (9,10,11,1). لا نكمل بحذف مضاعفات 4، ولا نرجع إلى 1 بعد كل جولة.
- الجدول يعرض البطاقات الأربع التي نعدها في كل جولة، والمحذوف وبداية الجولة التالية. نمر على البطاقات التي بقيت فقط؛ أرقام البطاقات لا تتغير.
- في الجولتين الأخيرتين نعد (5,9,10,5)، ثم (9,10,9,10). قد نزور البطاقة نفسها أكثر من مرة في جولة؛ نبقى نعد حتى أربعة، فتكون النتيجة الأخيرة 9.
- النتيجة تخص هذه البداية وهذا الاتجاه وحذف كل رابع. الباقي ليس ترتيب الحذف كاملًا، ولا يبقى بطاقتان في النهاية. لبطاقة واحدة لا يحدث حذف، ولعدٍ حتى واحد تحذف البطاقة الحالية. يلزم عدد بطاقات موجب وخطوة عد موجبة. [1]
رقم البطاقة يختلف عن عددها في الجولة
يحدد النموذج عددًا موجبًا للأرقام وخطوة عد موجبة. نبدأ من أول رقم، ثم نواصل من التالي بعد كل حذف، حتى يبقى واحد. [1]
اخترنا هنا إحدى عشرة بطاقة بأرقام 1 إلى 11، في ترتيبها حول الدائرة مع عقارب الساعة. أول بطاقة نعدها هي 1، ونحذف التي تأخذ العد الرابع. نعد البطاقات الباقية وحدها، ونبقي أرقامها الأصلية دون إعادة ترقيم.
قبل أول حذف، البطاقة 4 تحمل أيضًا العد الرابع. بعد ذلك لا تبقى هذه المطابقة بين الاسم والعد. في الجولة الثالثة تأخذ البطاقة 1 العد الرابع؛ لذلك تخرج رغم أن اسمها 1. تسمية البطاقة تجيب «أي بطاقة؟»، والعد يجيب «في أي خطوة من الجولة؟».
الجولة الثالثة تتجاوز نهاية الترقيم
في الجولة الأولى نعد (1,2,3,4)، فنحذف 4 ونبدأ من 5. الثانية هي (5,6,7,8)، فنحذف 8 ونبدأ من 9. لا نعد المكان الذي كانت فيه 4 أو 8 مرة أخرى؛ الذي يهم هو البطاقات الموجودة الآن.
في الجولة الثالثة نعد 9 ثم 10 ثم 11، ثم نصل إلى 1. لم نبدأ جولة جديدة عندما عبرنا نهاية الترقيم؛ هذا دوران داخل الجولة نفسها. تحذف 1، وتبدأ الجولة التالية من 2. إذا توقفت عند 11 أو عدت إلى 1 مع تصفير العد، فلن تنفذ القاعدة المحددة.
والجولة الرابعة تبدأ من 2، ثم 3، ثم 5، ثم 6. نقفز فوق موضع 4 المحذوف، فنحذف 6 ونبدأ من 7. النتيجة حتى هنا هي حذف (4,8,1,6)، وليس حذف الأسماء التي تقبل القسمة على 4.
تابع البداية التالية في كل صف
في هذا الجدول كل صف جولة حذف واحدة. النص داخل الأقواس هو ترتيب الزيارات الأربع، لا قائمة كاملة بكل البطاقات الباقية. أول عنصر فيه يأخذ العد 1، وآخره يأخذ العد 4 فيحذف.
البطاقة في العمود الأخير هي التالية الباقية بعد الحذف. في الصف الأخير تشير 9 إلى النتيجة التي بقيت؛ لا ننفذ جولة حذف أخرى بعد وصولنا إلى بطاقة واحدة. يمكن مراجعة الصفوف بالبطاقات نفسها أو بسجل يحتفظ بالباقين وبموضع بداية العد.
| الجولة | البطاقات المعدودة | المحذوف | التالي |
|---|---|---|---|
| 1 | (1,2,3,4) | 4 | 5 |
| 2 | (5,6,7,8) | 8 | 9 |
| 3 | (9,10,11,1) | 1 | 2 |
| 4 | (2,3,5,6) | 6 | 7 |
| 5 | (7,9,10,11) | 11 | 2 |
| 6 | (2,3,5,7) | 7 | 9 |
| 7 | (9,10,2,3) | 3 | 5 |
| 8 | (5,9,10,2) | 2 | 5 |
| 9 | (5,9,10,5) | 5 | 9 |
| 10 | (9,10,9,10) | 10 | 9 |
عندما يقل الباقون عن خطوة العد
قبل الجولة التاسعة بقيت 5 و 9 و 10، والبداية 5. نعد 5 مرة، ثم 9، ثم 10، ثم نعود إلى 5 بوصفها العد الرابع. نحذف 5؛ تكرار ظهورها في السطر ليس تكرار بطاقة مادية، بل زيارة أخرى لها قبل انتهاء العد.
بقيت 9 و 10، ونبدأ من 9: العد هو 9 ثم 10 ثم 9 ثم 10. تحذف 10 في الجولة العاشرة وتبقى 9 وحدها. الصورة الداخلية تفصل هاتين الجولتين لتبين كيف نستمر حتى أربعة رغم أن عدد البطاقات صار ثلاثة ثم اثنتين.
لا تحذف كل البطاقات بعد الدورة الأولى، ولا تمنع العودة إلى بطاقة داخل الجولة. نتوقف فقط بعد الحذف الذي يترك بطاقة واحدة؛ حذف 9 بعدها سيحل مسألة مختلفة عن السؤال الذي حددناه.
افحص ثلاث قراءات خاطئة قبل إعلان الباقي
إذا بدأت من 1 في كل جولة، فإن الثانية بعد حذف 4 ستعد (1,2,3,5)، فتحذف 5 بدل 8. هذا يكشف الخطأ مبكرًا: قاعدتنا تبدأ من التالي، أي 5 حينها، وتحسبه الأول. لا تعِد موضع البداية إلى أصل الحلقة تلقائيًا.
وإذا اعتبرت البداية عدًا صفرًا وتحركت أربع مرات قبل الحذف، فستصل في أول جولة إلى 5، لا 4. في قاعدتنا نبدأ العد بواحد؛ للوصول إلى الرابعة نتحرك ثلاث مرات. اكتب هذه الجملة قبل تحريك الإصبع أو مؤشر البرنامج.
أما حذف 4 ثم 8 ثم البحث عن 12، فيتجاهل أن دائرة المثال تضم 1 إلى 11 فقط، وأن الجولة تستمر عبرها. كذلك لا تضف البطاقات المحذوفة إلى العد اللاحق، ولا تعد ترقيم الباقين؛ سجل الهوية الأصلية كي تقارن النتيجة النهائية 9 بالمدخل.
افحص في سجلنا عشر بطاقات محذوفة مختلفة، وبطاقة واحدة باقية، أي 10 + 1 = 11. هذا فحص لاكتمال الأسماء، وليس كافيًا وحده لإثبات ترتيب العد. راجع أيضًا بداية كل صف وزياراته الأربع، ثم قارِن المحذوف بآخر عنصر. النتيجة 9 تخص هذه الشروط؛ تغيير البداية أو الاتجاه أو خطوة العد يحتاج حسابًا آخر.
اقرأ أيضًا: رموز الرياضيات ومعانيها
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.